Consider critical site percolation on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ with $\mathit{d}\ge 2$. Cerf (Ann. Probab. 43 (2015) 2458–2480) pointed out that from classical work by Aizenman, Kesten and Newman (Comm. Math. Phys. 111 (1987) 505–532) and Gandolfi, Grimmett and Russo (Comm. Math. Phys. 114 (1988) 549–552) one can obtain that the two-arms exponent is at least $1/2$. The paper by Cerf slightly improves that lower bound.

Except for $\mathit{d}=2$ and for high d, no upper bound for this exponent seems to be known in the literature so far (not even implicitly). We show that the distance-n two-arms probability is at least $\mathit{c}{\mathit{n}}^{-({\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2)}$ (with $\mathit{c}>0$ a constant which depends on d), thus giving an upper bound ${\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2$ for the above mentioned exponent.

Nous considérons la percolation critique par sites dans ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ pour $\mathit{d}\ge 2$. Cerf (Ann. Probab. 43 (2015) 2458–2480) a montré, en s’appuyant sur des travaux classiques dûs à Aizenman, Kesten et Newman (Comm. Math. Phys. 111 (1987) 505–532) et Gandolfi, Grimmett and Russo (Comm. Math. Phys. 114 (1988) 549–552), que l’exposant critique à deux-bras est au moins égal à $1/2$. L’article de Cerf améliore cette borne inférieure.

Sauf dans le cas $\mathit{d}=2$ ou en grande dimension, il ne semble pas que la litérature contienne une borne supérieure pour cette exposant (même pas de manière implicite). Nous prouvons que la probabilité de “deux bras à distance n” est au moins $\mathit{c}{\mathit{n}}^{-({\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2)}$ (où $\mathit{c}>0$ est une constante qui peut dépendre de la dimension d). Ainsi, l’exposant mentionné est inférieur ou égal à ${\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2$.

We prove that the interface of critical site percolation on the triangular lattice converges to ${SLE}_6$ in its natural parametrization, where the discrete interface is parametrized such that each edge is crossed in one unit of time, while the limiting curve is parametrized by its $7/4$-dimensional Minkowski content. We also prove that the scaling limit of counting measure on the pivotal points, which was proved to exist by Garban, Pete, and Schramm (J. Amer. Math. Soc. 26 (2013) 939–1024), is its $3/4$-dimensional Minkowski content up to a deterministic multiplicative constant.

Nous montrons que l’interface de la percolation du site à paramètre critique sur le réseau triangulaire converge vers la courbe ${SLE}_6$ dans sa parmétrisation naturelle, où l’interface discrète est paramétrisée de telle sorte que chaque arête est traversée en une unité de temps, tandis que la courbe limite est paramétrée par son contenu $7/4$-dimensionnel de Minkowski. Nous montrons également que la limite d’échelle de la mesure de comptage sur les points pivots, dont l’existence a été confirmée par Garban, Pete et Schramm (J. Amer. Math. Soc. 26 (2013) 939–1024), est son contenu $3/4$-dimensionnel de Minkowski jusqu’à une constante multiplicative déterministe.

We use the lace expansion to give a simple proof that the critical two-point function for weakly self-avoiding walk on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ has decay $|\mathit{x}{|}^{-(\mathit{d}-2)}$ in dimensions $\mathit{d}>4$. The proof uses elementary Fourier analysis and the Riemann–Lebesgue Lemma.

Nous utilisons le développement en lacets afin de montrer que la fonction à deux points de la marche faiblement auto-évitante au point critique et en dimension $\mathit{d}>4$ décroît comme $|\mathit{x}{|}^{-(\mathit{d}-2)}$. La preuve en appelle de manière élémentaire à la théorie de Fourier ainsi qu’au Lemme de Riemann–Lebesgue.

In this paper, we consider four integrable models of directed polymers for which the free energy is known to exhibit KPZ fluctuations. A common framework for the analysis of these models was introduced in (ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 15 (2018) 509–547).

We derive estimates for the central moments of the partition function, of any order, on the near-optimal scale ${\mathit{N}}^{1/3+\mathit{ϵ}}$, using the iterative method we applied to the semi-discrete polymer in (Noack and Sosoe (2020)). Among the innovations exploiting the integrable structure, we develop formulas for correlations between functions of the free energy and the boundary weights that replace the Gaussian integration by parts appearing in our previous paper (Noack and Sosoe (2020)).

Dans cet article, nous considérons quatre modèles intégrables de polymères dirigés pour lesquels on sait démontrer que l’énergie libre a des fluctuations de type KPZ. Un cadre d’analyse commun pour ces modèles est présenté dans (ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 15 (2018) 509–547).

Nous obtenons des estimées pour les moments centraux de la fonction de partition, d’ordre quelconque, à l’échelle quasi-optimale ${\mathit{N}}^{\frac{1}{3}+\mathit{ϵ}}$, à l’aide d’une méthode itérative déjà appliquée au polymère semi-discret dans (Noack and Sosoe (2020)). Parmi les nouveautés qui tirent profit de la structur structure intégrable, nous développons des formules pour les corrélations entre des fonctions de l’énergie libre et les poids au bord. Ces formulent remplacent l’intégration par partie gaussienne qui apparait dans notre précédent travail (Noack and Sosoe (2020)).

We prove that in the full ${\mathit{L}}^2$-regime the partition function of the directed polymer model in dimensions $\mathit{d}\ge 3$, if centered, scaled and averaged with respect to a test function $\mathit{\phi }\in {\mathit{C}}_{\mathit{c}}({\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$, converges in distribution to a Gaussian random variable with explicit variance. Introducing a new idea in this context of a martingale difference representation, we also prove that the log-partition function, which can be viewed as a discretisation of the KPZ equation, exhibits the same fluctuations, when centered and averaged with respect to a test function. Thus, the two models fall within the Edwards–Wilkinson universality class in the full ${\mathit{L}}^2$-regime, a result that was only established, so far, for a strict subset of this regime in $\mathit{d}\ge 3$.

Nous démontrons que dans tout le régime ${\mathit{L}}^2$, la fonction de partition du modèle de polymères dirigés en dimension $\mathit{d}\ge 3$, si elle est centrée, normalisée et moyennée par rapport à une fonction de test $\mathit{\phi }\in {\mathit{C}}_{\mathit{c}}({\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$, converge en distribution vers une variable aléatoire gaussienne dont la variance est explicite. En introduisant une nouvelle idée dans ce contexte de la représentation de différence de martingale, nous démontrons également que le logarithme de la fonction de partition, qui peut être vu comme une discrétisation de l’équation KPZ, possède les mêmes fluctuations, lorsqu’il est centré et moyenné par rapport à une fonction de test. En conséquence, tous les deux modèles se trouvent dans la classe d’universalité d’Edwards–Wilkinson dans tout le régime ${\mathit{L}}^2$, un résultat qui a seulement été établi jusque-là dans un sous-ensemble strict de ce régime en dimension $\mathit{d}\ge 3$.

We investigate the shape of the density $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ of the solution $\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ to stochastic partial differential equation $\frac{\partial }{\partial \mathit{t}}\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})+\mathit{u}◇\dot{\mathit{W}}(\mathit{t},\mathit{x})$, where $\dot{\mathit{W}}$ is a general Gaussian noise and ◇ denotes the Wick product. We mainly concern with the asymptotic behavior of $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ when $\mathit{y}\to \infty$ or when $\mathit{t}\to 0+$. Both upper and lower bounds are obtained and these two bounds match each other modulo some multiplicative constants. If the initial condition is positive, then $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ is supported on the positive half line $\mathit{y}\in [0,\infty )$ and in this case we show that $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};0+)=0$ and obtain an upper bound for $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ when $\mathit{y}\to 0+$.

Nous étudions la forme de la densité $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ de la solution $\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ de l’équation différentielle partielle stochastique $\frac{\partial }{\partial \mathit{t}}\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})+\mathit{u}◇\dot{\mathit{W}}(\mathit{t},\mathit{x})$, où $\dot{\mathit{W}}$ est un bruit gaussien général et ◇ désigne le produit Wick. Nous visons principalement au comportement asymptotique de $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ quand $\mathit{y}\to \infty$ ou quand $\mathit{t}\to 0+$. À la fois des bornes supérieur et inférieures sont obtenues et ces deux bornes correspondent modulo à certaines constantes multiplicatives. Si la condition initiale est positive, alors $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ est supporté sur la demi-droite positive $\mathit{y}\in [0,\infty )$ et dans ce cas nous montrons que $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};0+)=0$ et obtenons une borne supérieure pour $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ quand $\mathit{y}\to 0+$.

In this paper, we study the annealed ferromagnetic Ising model on the configuration model. In an annealed system, we take the average on both sides of the ratio defining the Boltzmann–Gibbs measure of the Ising model. In the configuration model, the degrees are specified. Remarkably, when the degrees are deterministic, the critical value of the annealed Ising model is the same as that for the quenched Ising model. For independent and identically distributed (i.i.d.) degrees, instead, the annealed critical value is strictly smaller than that of the quenched Ising model. This identifies the degree structure of the underlying graph as the main driver for the critical value. Furthermore, in both contexts (deterministic or random degrees), we provide the variational expression for the annealed pressure. Interestingly, our rigorous results establish that only part of the heuristic conjectures in the physics literature were correct.

Dans ce travail, nous étudions le modèle d’Ising ferromagnétique “annealed” sur le modèle de configuration. Dans un système “annealed”, nous prenons la moyenne des deux côtés du rapport définissant la mesure de Boltzmann–Gibbs du modèle d’Ising. Dans le modèle de configuration, les degrés sont spécifiés. Remarquablement, lorsque les degrés sont déterministes, la valeur critique du modèle d’Ising “annealed” est La même que celle du modèle d’Ising “quenched”. Pour des degrés indépendants et identiquement distribués (i.i.d.), au contraire, la valeur critique “annealed” est strictement inférieure à celle du modèle d’Ising “quenched”. Cela identifie la structure en degrés du graphique sous-jacent comme le principal moteur de la valeur critique. Dans les deux contextes (degrés déterministes ou aléatoires), nous fournissons l’expression variationnelle de la pression “annealed”. Fait intéressant, nos résultats rigoureux établissent que seule une partie des conjectures heuristiques de la littérature de physique étaient corrects.

We consider testing for the parameters of Ferromagnetic Ising models. While testing for the presence of possibly sparse external magnetizations, we provide a general lower bound of minimax separation rates which yields sharp results in high temperature regimes. Our matching upper bounds are adaptive over both underlying dependence graph and temperature parameter. Moreover our results include the nearest neighbor model on lattices, the sparse Erdős–Rényi random graphs, and regular rooted trees – right up to the critical temperature in the high temperature regime. We also provide parallel results for the entire low temperature regime in nearest neighbor model on lattices – however in the plus boundary pure phase. Our results for the nearest neighbor model crucially depends on finite volume analogues of correlation decay property for both high and low temperature regimes – the derivation of which borrows several ideas from FK-percolation theory and might be of independent interest. Finally, we also derive lower bounds for estimation and testing rates in two parameter Ising models – which turn out to be optimal according to several recent results in this area.

Nous considérons le problème du test des paramètres des modèles d’Ising ferromagnétique. Tout en testant la présence d’aimantations externes éventuellement éparses, nous fournissons une limite inférieure générale des taux de séparation minimax qui donne des résultats précis dans des régimes à haute température. Nos limites supérieures correspondantes sont adaptatives à la fois sur le graphique de dépendance sous-jacent et sur le paramètre de température. De plus, nos résultats incluent le modèle du plus proche voisin sur les réseaux, les graphes aléatoires creux d’Erdős–Rényi et les arbres enracinés réguliers – jusqu’à la température critique dans le régime à haute température. Nous fournissons également résultats parallèles pour l’ensemble du régime de basse température dans le modèle du plus proche voisin sur les réseaux – cependant dans la phase pure de la frontière plus. Nos résultats pour le modèle du plus proche voisin dépendent de manière cruciale des analogues de volume fini de la propriété de décroissance de la corrélation pour les régimes de température élevée et basse – dont la dérivation emprunte plusieurs idées à la théorie de la percolation FK et pourrait présenter un intérêt indépendant. Enfin, nous obtenons également des limites inférieures pour les taux d’estimation et de test dans les modèles d’Ising à deux paramètres – qui s’avèrent être optimaux selon plusieurs résultats récents dans cette zone.

We consider a class of probability distributions on the six-vertex model, which originate from the higher spin vertex models in (Selecta Math. (N.S.) 24 (2018) 751–874) and have previously been investigated in (Int. Math. Res. Not. 2020 (2020) 1794–1881). For these random six-vertex models we show that the asymptotic behavior near their base is asymptotically described by the GUE-corners process.

Nous considérons une classe de distributions de probabilités sur le modèle à six sommets, qui provient du modèle à six-sommets aux plus hauts spins, cf (Selecta Math. (N.S.) 24 (2018) 751–874), et qui a été étudiée précédemment dans (Int. Math. Res. Not. 2020 (2020) 1794–1881). Pour ces modèles à six sommets, nous montrons que le comportement asymptotique près de la base est décrit par le processus GUE en coins.

We consider symmetric partial exclusion and inclusion processes in a general graph in contact with reservoirs, where we allow both for edge disorder and well-chosen site disorder. We extend the classical dualities to this context and then we derive new orthogonal polynomial dualities. From the classical dualities, we derive the uniqueness of the non-equilibrium steady state and obtain correlation inequalities. Starting from the orthogonal polynomial dualities, we show universal properties of n-point correlation functions in the non-equilibrium steady state for systems with at most two different reservoir parameters, such as a chain with reservoirs at left and right ends.

Nous considérons des processus d’exclusion partielle, et des processus d’inclusion sur un graphe général en contact avec des réservoirs. Nous autorisons la présence de inhomogenéités sur les arrêts ainsi que sur les sommets du graph. Nous généralisons les “dualités classiques” dans ce contexte et nous démontrons des nouvelles dualités orthogonales. À partir des dualités classiques, nous démontrons l’unicité de l’état stationnaire non-équilibre, ainsi que des inégalités de corrélation. À partir des dualités orthogonales nous démontrons des propriétés universelles des fonctions de corrélation à n points dans l’état stationnaire non-équilibre pour des systèmes avec deux paramètres de réservoirs inégaux, comme par exemple une chaîne avec des réservoirs à droite et à gauche.

The relaxation time limit of the one-point distribution of the spatially periodic totally asymmetric simple exclusion process is expected to be the universal one point distribution for the models in the KPZ universality class in a periodic domain. Unlike the infinite line case, the limiting one point distribution depends non-trivially on the scaled time parameter. We study several properties of this distribution for the case of the periodic step and flat initial conditions. We show that the distribution changes from a Tracy–Widom distribution in the small time limit to the Gaussian distribution in the large time limit, and also obtain right tail estimate for all time. Furthermore, we establish a connection to integrable differential equations such as the KP equation, coupled systems of mKdV and nonlinear heat equations, and the KdV equation.

Il est attendu que la limite du temps de relaxation pour la distribution à un point du processus d’exclusion simple totalement asymétrique et périodique en espace est la distribution à un point de la classe universelle KPZ en domaine périodique. Contrairement au cas de la ligne infinie, la distribution à un point dépend de façon non-triviale des paramètres d’échelle en temps. Nous étudions plusieurs propriétés de cette distribution dans le cas des lois initiales à pas périodiques et plates. Nous montrons que la distribution change de la loi de Tracy–Widom dans la limite en temps petits à la loi Gaussienne en temps grands, et nous obtenons aussi une estimée de queue pour tous les temps. De plus, nous établissons une relation avec les équations différentielles intégrables telles que les équations KP, les systèmes couplés mKdV et équations de la chaleur non-linéaires, et l’équation KdV.

We provide a complete description of the equilibrium fluctuations for diffusive symmetric exclusion processes with long jumps in contact with infinitely extended reservoirs and prove that they behave as generalized Ornstein–Uhlenbeck processes with various boundary conditions, depending mainly on the strength of the reservoirs. On the way, we also give a general statement about uniqueness of the Ornstein–Uhlenbeck process originated by the microscopic dynamics of the underlying interacting particle systems and adapt it to our study.

Nous donnons une description complète des fluctuations à l’équilibre pour un processus d’exclusion symétrique avec de longs sauts en contact avec des réservoirs infiniment étendus. Nous prouvons qu’elles se comportent comme des processus d’Ornstein–Uhlenbeck généralisés avec différentes conditions aux bords, dépendant principalement de l’intensité des réservoirs. Par la même occasion, nous fournissons un résultat sur l’unicité des processus d’Ornstein–Uhlenbeck obtenus à partir des dynamiques microscopiques des systèmes de particules sous-jacents et l’adaptons à notre étude.

We study a stochastic system of interacting neurons and its metastable properties. The system consists of N neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the neuron potential is reset to 0 and all other neurons receive an additional amount $\mathit{h}/\mathit{N}$ of potential. In between successive spike times, each neuron looses potential at exponential speed. We study this system in the supercritical regime, that is, for sufficiently high values of the synaptic weight h. Under very mild conditions on the behavior of the spiking rate function in the vicinity of 0, is has been shown in Duarte and Ost (Markov Process. Related Fields 22 (2016) 37–52) that the only invariant distribution of the finite system is the trivial measure ${\mathit{\delta }}_{\mathbf{0}}$ corresponding to extinction of the process. We strengthen these conditions to prove that for large synaptic weights h, the extinction time arrives at exponentially late times in N, and discuss the stability of the equilibrium ${\mathit{\delta }}_{\mathbf{0}}$ for the non-linear mean-field limit process depending on the parameters of the dynamics. We then specify our study to the case of saturating spiking rates and show that, under suitable conditions on the parameters of the model, (1) the non-linear mean-field limit admits a unique and globally attracting non trivial equilibrium and (2) the rescaled exit times for the mean spiking rate of a finite system from a neighbourhood of the non-linear equilibrium rate converge in law to an exponential distribution, as the system size diverges. In other words, the system exhibits a metastable behavior.

On étudie un système stochastique de neurones en interaction et son caractère métastable. Le système est constitué de N neurones, chacun émettant une décharge aléatoirement à un taux dépendant de son potentiel de membrane. Au moment d’une décharge, le potentiel du neurone est remis à 0 et celui des autres neurones est augmenté d’une valeur $\mathit{h}/\mathit{N}$. Entre deux temps successifs de décharge, le potentiel des neurones décroît à taux constant. On étudie ce système dans un régime surcritique, au sens où la valeur du coefficient synaptique h est suffisamment grande. Sous des conditions peu contraignantes sur le comportement de la fonction du taux de décharge, Duarte et Ost (Markov Process. Related Fields 22 (2016) 37–52) ont démontré que la seule mesure invariante du système de taille finie est la mesure triviale ${\mathit{\delta }}_0$, qui correspond à l’extinction du processus. En considérant des conditions plus restrictives, nous montrons que, pour h suffisamment grand, le temps d’extinction survient à des temps exponentiellement long en N, et nous étudions en fonction des paramètres de la dynamique la stabilité de l’équilibre ${\mathit{\delta }}_0$ pour le processus non-linéaire limite champ moyen. En restreignant ensuite l’étude à des taux de décharge avec saturation, nous établissons des conditions sur les pararamètres du modèle sous lesquelles (1) la limite champ moyen non-linéaire admet un unique équilibre non-trivial qui est globalement attractif, et (2) pour le taux de décharge moyen d’un système de taille finie, le temps de sortie renormalisé d’un voisinage de sa valeur sous l’équilibre non-linéaire converge en loi vers une distribution exponentielle lorsque la taille du système diverge. En d’autres termes, le système exhibe un comportement métastable.

We study the well-posedness of a nonlinear one dimensional stochastic heat equation driven by Gaussian noise: $\frac{\partial \mathit{u}}{\partial \mathit{t}}=\frac{{\partial }^2\mathit{u}}{\partial {\mathit{x}}^2}+\mathit{\sigma }(\mathit{u})\dot{\mathit{W}}$, where $\dot{\mathit{W}}$ is white in time and fractional in space with Hurst parameter $\mathit{H}\in (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$. In a recent paper (Ann. Probab. 45 (2017) 4561–616) by Hu, Huang, Lê, Nualart and Tindel a technical and unusual condition of $\mathit{\sigma }(0)=0$ was assumed which is critical in their approach. The main effort of this paper is to remove this condition. The idea is to work on a weighted space ${\mathcal{Z}}_{\mathit{\lambda },\mathit{T}}^{\mathit{p}}$ for some power decay weight $\mathit{\lambda }(\mathit{x})={\mathit{c}}_{\mathit{H}}{(1+|\mathit{x}{|}^2)}^{\mathit{H}-1}$. In addition, when $\mathit{\sigma }(\mathit{u})=1$ we obtain the exact asympotics of the solution ${\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})$ as t and x go to infinity. In particular, we find the exact growth of ${sup}_{|\mathit{x}|\le \mathit{L}}|{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})|$ and the sharp growth rate for the Hölder coefficients, namely, ${sup}_{|\mathit{x}|\le \mathit{L}}\frac{|{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x}+\mathit{h})-{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})|}{|\mathit{h}{|}^{\mathit{\beta }}}$ and ${sup}_{|\mathit{x}|\le \mathit{L}}\frac{|{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t}+\mathit{\tau },\mathit{x})-{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})|}{{\mathit{\tau }}^{\mathit{\alpha }}}$.

Nous étudions une équation de chaleur stochastique ā une dimension spatiale non linéaire dirigée par le bruit gaussien : $\frac{\partial \mathit{u}}{\partial \mathit{t}}=\frac{{\partial }^2\mathit{u}}{\partial {\mathit{x}}^2}+\mathit{\sigma }(\mathit{u})\dot{\mathit{W}}$, où $\dot{\mathit{W}}$ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst $\mathit{H}\in (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$. Dans un article récent (Ann. Probab. 45 (2017) 4561–616) par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle $\mathit{\sigma }(0)=0$ a été supposée, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré ${\mathcal{Z}}_{\mathit{\lambda },\mathit{T}}^{\mathit{p}}$ pour un certain poids de décroissance polynomiale $\mathit{\lambda }(\mathit{x})={\mathit{c}}_{\mathit{H}}{(1+|\mathit{x}{|}^2)}^{\mathit{H}-1}$. Lorsque $\mathit{\sigma }(\mathit{u})=1$ nous obtenons les asympotiques exactes de la solution ${\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})$ quand t et x tendent vers l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de ${sup}_{|\mathit{x}|\le \mathit{L}}|{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})|$ et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-à-dire, ${sup}_{|\mathit{x}|\le \mathit{L}}\frac{|{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x}+\mathit{h})-{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})|}{|\mathit{h}{|}^{\mathit{\beta }}}$ et ${sup}_{|\mathit{x}|\le \mathit{L}}\frac{|{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t}+\mathit{\tau },\mathit{x})-{\mathit{u}}_{\mathrm{add}}(\mathit{t},\mathit{x})|}{{\mathit{\tau }}^{\mathit{\alpha }}}$.

The α-Lipschitz minorant of a function $\mathit{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is the greatest α-Lipschitz function $\mathit{m}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that $\mathit{m}\le \mathit{f}$. The α-Lipschitz minorant of the sample paths of a Lévy process X was introduced and studied by Abramson and Evans. Denoting the minorant by M, an object of interest is the contact set $\mathcal{Z}:=\{\mathit{t}\in \mathbb{R}:{\mathit{M}}_{\mathit{t}}={\mathit{X}}_{\mathit{t}}\wedge {\mathit{X}}_{\mathit{t}-}\}$ that was shown to be both stationary and regenerative. We continue this study by providing a description of the excursions of the Lévy process away from its contact set similar to the one presented in Itô excursion theory, and we focus in particular on the excursion straddling zero. We also give an explicit path decomposition of the other “generic” excursions in the case of Brownian motion with drift β with $|\mathit{\beta }|<\mathit{\alpha }$. Finally, we investigate the progressive enlargement of the Brownian filtration by the random time that is the first point of the contact set after zero.

Le minorant α-Lipschitzien d’une fonction $\mathit{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est la plus grande fonction α-Lipschitzienne $\mathit{m}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ telle que $\mathit{m}\le \mathit{f}$. Le minorant α-Lipschitizien des trajectoires d’un process de Lévy X a été introduit et étudié par Abramson et Evans. Noté par M ce minorant, un objet d’intérêt est l’ensemble de contact $\mathcal{Z}:=\{\mathit{t}\in \mathbb{R}:{\mathit{M}}_{\mathit{t}}={\mathit{X}}_{\mathit{t}}\wedge {\mathit{X}}_{\mathit{t}-}\}$ qui est à la fois stationnaire et régénératif. On continue dans ce papier cette étude en fournissant une description des excursions du processus de Lévy loin de son ensemble de contact, similaire à celle dans la théorie d’excursions d’Itô. En particulier, on se concentre sur l’excursion enjambant zéro. Notre analyse amène aussi une décomposition explicite des trajectoires des autres excursions « génériques » dans le cas du mouvement Brownien de drift β avec $|\mathit{\beta }|<\mathit{\alpha }$. Finalement, on étudie l’élargissement progressif de la filtration brownienne par le temps aléatoire qui est le plus premier instant de l’ensemble de contact après zéro.

Let $\mathit{W}(\mathit{t})$, $0\le \mathit{t}\le \mathit{T}$, be a Brownian motion in ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, $\mathit{d}=2,3$. We say that x is a cut point for W if $\mathit{x}=\mathit{W}(\mathit{t})$ for some $\mathit{t}\in (0,\mathit{T})$ such that $\mathit{W}[0,\mathit{t})$ and $\mathit{W}(\mathit{t},\mathit{T}]$ are disjoint. In this work, we prove that a.s. the Minkowski content of the set of cut points for W exists and is finite and non-trivial.

Soit $\mathit{W}(\mathit{t})$, $0\le \mathit{t}\le \mathit{T}$ un mouvement brownien sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, $\mathit{d}=2,3$. On dit que x est un point de coupure pour W si $\mathit{x}=\mathit{W}(\mathit{t})$ pour un certain $\mathit{t}\in (0,\mathit{T})$ tel que $\mathit{W}[0,\mathit{t})$ et $\mathit{W}(\mathit{t},\mathit{T}]$ sont disjoints. Dans cet article, nous montrons que le contenu de Minkowski de l’ensemble des points de coupure pour W existe p.s., et qu’il est p.s. fini et non trivial.

We define intermediate ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}(\underset{\_}{\mathit{\rho }})$ and reversed intermediate ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}(\underset{\_}{\mathit{\rho }})$ processes using Appell–Lauricella multiple hypergeometric functions, and use them to describe the time-reversal of multiple-force-point chordal ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}(\underset{\_}{\mathit{\rho }})$ curves in the case that all force points are on the boundary and lie on the same side of the initial point, and κ and $\underset{\_}{\mathit{\rho }}=({\mathit{\rho }}_1,\dots ,{\mathit{\rho }}_{\mathit{m}})$ satisfy that either $\mathit{\kappa }\in (0,4]$ and ${\sum }_{\mathit{j}=1}^{\mathit{k}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}>-2$ for all $1\le \mathit{k}\le \mathit{m}$, or $\mathit{\kappa }\in (4,8)$ and ${\sum }_{\mathit{j}=1}^{\mathit{k}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}\ge \frac{\mathit{\kappa }}{2}-2$ for all $1\le \mathit{k}\le \mathit{m}$.

Nous définissons les processus intermédiaires ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}(\underset{\_}{\mathit{\rho }})$ et intermédiaires inverses ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}(\underset{\_}{\mathit{\rho }})$ en utilisant les fonctions hypergéométriques multiples de Appell–Lauricella. Nous les utilisons pour décrire les retournements en temps des courbes ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}(\underset{\_}{\mathit{\rho }})$ avec points de forçage multiples, dans le cas où : les points de forçage sont sur la frontière et du même côté que le point de départ ; κ et $\underset{\_}{\mathit{\rho }}=({\mathit{\rho }}_1,\dots ,{\mathit{\rho }}_{\mathit{m}})$ satisfont que soit $\mathit{\kappa }\in (0,4]$ et ${\sum }_{\mathit{j}=1}^{\mathit{k}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}>-2$ pour tout $1\le \mathit{k}\le \mathit{m}$, soit $\mathit{\kappa }\in (4,8)$ et ${\sum }_{\mathit{j}=1}^{\mathit{k}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}\ge \frac{\mathit{\kappa }}{2}-2$ pour tout $1\le \mathit{k}\le \mathit{m}$.

We consider a two parameter family of unitarily invariant diffusion processes on the general linear group ${\mathbb{GL}}_{\mathit{N}}$ of $\mathit{N}\times \mathit{N}$ invertible matrices, that includes the standard Brownian motion as well as the usual unitary Brownian motion as special cases. We prove that all such processes have Gaussian spectral fluctuations in high dimension with error of order $\mathit{O}(\frac{1}{\mathit{N}})$; this is in terms of the finite dimensional distributions of the process under a large class of test functions known as trace polynomials. We give an explicit characterization of the covariance of the Gaussian fluctuation field, which can be described in terms of a fixed functional of three freely independent free multiplicative Brownian motions. These results generalize earlier work of Lévy and Maïda, and Diaconis and Evans, on unitary groups.

Nous considérons une famille à deux paramètres de processus unitairement invariants sur le groupe général linéaire ${\mathbb{GL}}_{\mathit{N}}$ des matrices $\mathit{N}\times \mathit{N}$ inversibles, contenant comme cas particuliers le mouvement brownien standard ainsi que le mouvement brownien unitaire. Nous montrons que tous ces processus ont des fluctuations spectrales gaussiennes d’ordre $\mathit{O}(\frac{1}{\mathit{N}})$ en grande dimension ; ces fluctuations sont établies pour les distributions finies-dimensionnelles du processus sous une classe étendue de fonctions tests appelées polynômes à trace. Nous donnons une expression explicite de la covariance du champ gaussien des fluctuations en fonction d’une fonctionnelle particulière de trois mouvements browniens multiplicatifs librement indépendants. Ces résultats généralisent les précédents travaux de Lévy et Maïda, et de Diaconis et Evans, sur les groupes unitaires.

We show that for every ergodic and aperiodic probability preserving system, there exists an integer valued square integrable function whose Birkhoff sums process satisfies the lattice local limit theorem.

On montre que dans tout système dynamique probabilisé ergodique et apériodique, il existe une fonction de carré intégrable à valeurs entières dont les sommes de Birkhoff satisfont le théorème limite local.

In the framework of axial data, the most classical test of uniformity on the unit sphere of ${\mathbb{R}}^{\mathit{p}}$ is the Bingham (Ann. Statist. 2 (1974) 1201–1225) test. In this work, we study the non-null behaviour of this test in high-dimensional asymptotic scenarios where $\mathit{p}={\mathit{p}}_{\mathit{n}}$ diverges to infinity with the sample size n. We consider a semiparametric class of alternatives that includes Watson alternatives and we derive a local asymptotic normality property. Le Cam’s third lemma reveals that the Bingham test is blind to the corresponding contiguous alternatives, though. By using martingale central limit theorems, we therefore study the behaviour of the Bingham test under more severe alternatives. Far from restricting to the aforementioned semiparametric alternatives, our results cover a broad class of rotationally symmetric alternatives, which allows us to consider non-axial alternatives, too. In every distributional framework we consider, the “detection threshold” of the Bingham test is identified and a comparison with the classical test of uniformity for non-axial data, namely the Rayleigh (Philos. Mag. 37 (1919) 321–346) test, is made possible. In the framework of axial data, we derive a lower bound on the minimax separation rate and establish that the Bingham test is minimax rate-optimal in the class of Watson distributions.

Pour des données axiales, le test d’uniformité le plus classique sur la sphère unité de ${\mathbb{R}}^{\mathit{p}}$ est le test de Bingham (Ann. Statist. 2 (1974) 1201–1225). Dans cet article, nous étudions la puissance de ce test dans des scénarios asymptotiques de grande dimension pour lesquels $\mathit{p}={\mathit{p}}_{\mathit{n}}$ diverge vers l’infini avec la taille d’échantillon n. Nous considérons une classe semiparamétrique de contre-hypothèses incluant les distributions de Watson et nous établissons une propriété de normalité locale asymptotique. Le troisième lemme de Le Cam révèle cependant que le test Bingham ne détecte pas les contre-hypothèses contiguës associées. En utilisant un théorème central limite pour des différences de martingales, nous étudions donc le comportement du test de Bingham sous des contre-hypothèses plus sévères. Loin de nous restreindre aux contre-hypothèses semiparamétriques mentionnées ci-dessus, nos résultats couvrent une large classe de contre-hypothèses à symétrie rotationnelle, ce qui nous permet de considérer également des contre-hypothèses non axiales. Dans chaque contexte distributionnel, nous obtenons le “seuil de détection” du test de Bingham, ce qui rend possible une comparaison avec le test classique d’uniformité pour des données non axiales, c’est-à-dire le test de Rayleigh (Philos. Mag. 37 (1919) 321–346). Dans le cas axial, nous déterminons une borne inférieure pour le taux de séparation minimax et établissons que le test de Bingham est minimax optimal dans la classe des distributions de Watson.