Abstract
We consider testing for the parameters of Ferromagnetic Ising models. While testing for the presence of possibly sparse external magnetizations, we provide a general lower bound of minimax separation rates which yields sharp results in high temperature regimes. Our matching upper bounds are adaptive over both underlying dependence graph and temperature parameter. Moreover our results include the nearest neighbor model on lattices, the sparse Erdős–Rényi random graphs, and regular rooted trees – right up to the critical temperature in the high temperature regime. We also provide parallel results for the entire low temperature regime in nearest neighbor model on lattices – however in the plus boundary pure phase. Our results for the nearest neighbor model crucially depends on finite volume analogues of correlation decay property for both high and low temperature regimes – the derivation of which borrows several ideas from FK-percolation theory and might be of independent interest. Finally, we also derive lower bounds for estimation and testing rates in two parameter Ising models – which turn out to be optimal according to several recent results in this area.
Nous considérons le problème du test des paramètres des modèles d’Ising ferromagnétique. Tout en testant la présence d’aimantations externes éventuellement éparses, nous fournissons une limite inférieure générale des taux de séparation minimax qui donne des résultats précis dans des régimes à haute température. Nos limites supérieures correspondantes sont adaptatives à la fois sur le graphique de dépendance sous-jacent et sur le paramètre de température. De plus, nos résultats incluent le modèle du plus proche voisin sur les réseaux, les graphes aléatoires creux d’Erdős–Rényi et les arbres enracinés réguliers – jusqu’à la température critique dans le régime à haute température. Nous fournissons également résultats parallèles pour l’ensemble du régime de basse température dans le modèle du plus proche voisin sur les réseaux – cependant dans la phase pure de la frontière plus. Nos résultats pour le modèle du plus proche voisin dépendent de manière cruciale des analogues de volume fini de la propriété de décroissance de la corrélation pour les régimes de température élevée et basse – dont la dérivation emprunte plusieurs idées à la théorie de la percolation FK et pourrait présenter un intérêt indépendant. Enfin, nous obtenons également des limites inférieures pour les taux d’estimation et de test dans les modèles d’Ising à deux paramètres – qui s’avèrent être optimaux selon plusieurs résultats récents dans cette zone.
Citation
Rajarshi Mukherjee. Gourab Ray. "On testing for parameters in Ising models." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 58 (1) 164 - 187, February 2022. https://doi.org/10.1214/21-AIHP1157
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