Natural parametrization of percolation interface and pivotal points

Abstract

We prove that the interface of critical site percolation on the triangular lattice converges to ${SLE}_6$ in its natural parametrization, where the discrete interface is parametrized such that each edge is crossed in one unit of time, while the limiting curve is parametrized by its $7/4$-dimensional Minkowski content. We also prove that the scaling limit of counting measure on the pivotal points, which was proved to exist by Garban, Pete, and Schramm (J. Amer. Math. Soc. 26 (2013) 939–1024), is its $3/4$-dimensional Minkowski content up to a deterministic multiplicative constant.

Nous montrons que l’interface de la percolation du site à paramètre critique sur le réseau triangulaire converge vers la courbe ${SLE}_6$ dans sa parmétrisation naturelle, où l’interface discrète est paramétrisée de telle sorte que chaque arête est traversée en une unité de temps, tandis que la courbe limite est paramétrée par son contenu $7/4$-dimensionnel de Minkowski. Nous montrons également que la limite d’échelle de la mesure de comptage sur les points pivots, dont l’existence a été confirmée par Garban, Pete et Schramm (J. Amer. Math. Soc. 26 (2013) 939–1024), est son contenu $3/4$-dimensionnel de Minkowski jusqu’à une constante multiplicative déterministe.