In this paper, we study the annealed ferromagnetic Ising model on the configuration model. In an annealed system, we take the average on both sides of the ratio defining the Boltzmann–Gibbs measure of the Ising model. In the configuration model, the degrees are specified. Remarkably, when the degrees are deterministic, the critical value of the annealed Ising model is the same as that for the quenched Ising model. For independent and identically distributed (i.i.d.) degrees, instead, the annealed critical value is strictly smaller than that of the quenched Ising model. This identifies the degree structure of the underlying graph as the main driver for the critical value. Furthermore, in both contexts (deterministic or random degrees), we provide the variational expression for the annealed pressure. Interestingly, our rigorous results establish that only part of the heuristic conjectures in the physics literature were correct.

Dans ce travail, nous étudions le modèle d’Ising ferromagnétique “annealed” sur le modèle de configuration. Dans un système “annealed”, nous prenons la moyenne des deux côtés du rapport définissant la mesure de Boltzmann–Gibbs du modèle d’Ising. Dans le modèle de configuration, les degrés sont spécifiés. Remarquablement, lorsque les degrés sont déterministes, la valeur critique du modèle d’Ising “annealed” est La même que celle du modèle d’Ising “quenched”. Pour des degrés indépendants et identiquement distribués (i.i.d.), au contraire, la valeur critique “annealed” est strictement inférieure à celle du modèle d’Ising “quenched”. Cela identifie la structure en degrés du graphique sous-jacent comme le principal moteur de la valeur critique. Dans les deux contextes (degrés déterministes ou aléatoires), nous fournissons l’expression variationnelle de la pression “annealed”. Fait intéressant, nos résultats rigoureux établissent que seule une partie des conjectures heuristiques de la littérature de physique étaient corrects.