Asymptotics of the density of parabolic Anderson random fields

Abstract

We investigate the shape of the density $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ of the solution $\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ to stochastic partial differential equation $\frac{\partial }{\partial \mathit{t}}\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})+\mathit{u}◇\dot{\mathit{W}}(\mathit{t},\mathit{x})$, where $\dot{\mathit{W}}$ is a general Gaussian noise and ◇ denotes the Wick product. We mainly concern with the asymptotic behavior of $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ when $\mathit{y}\to \infty$ or when $\mathit{t}\to 0+$. Both upper and lower bounds are obtained and these two bounds match each other modulo some multiplicative constants. If the initial condition is positive, then $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ is supported on the positive half line $\mathit{y}\in [0,\infty )$ and in this case we show that $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};0+)=0$ and obtain an upper bound for $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ when $\mathit{y}\to 0+$.

Nous étudions la forme de la densité $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ de la solution $\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ de l’équation différentielle partielle stochastique $\frac{\partial }{\partial \mathit{t}}\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})+\mathit{u}◇\dot{\mathit{W}}(\mathit{t},\mathit{x})$, où $\dot{\mathit{W}}$ est un bruit gaussien général et ◇ désigne le produit Wick. Nous visons principalement au comportement asymptotique de $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ quand $\mathit{y}\to \infty$ ou quand $\mathit{t}\to 0+$. À la fois des bornes supérieur et inférieures sont obtenues et ces deux bornes correspondent modulo à certaines constantes multiplicatives. Si la condition initiale est positive, alors $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ est supporté sur la demi-droite positive $\mathit{y}\in [0,\infty )$ et dans ce cas nous montrons que $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};0+)=0$ et obtenons une borne supérieure pour $\mathit{\rho }(\mathit{t},\mathit{x};\mathit{y})$ quand $\mathit{y}\to 0+$.