Edwards–Wilkinson fluctuations for the directed polymer in the full L2-regime for dimensions d≥3

Abstract

We prove that in the full ${\mathit{L}}^2$-regime the partition function of the directed polymer model in dimensions $\mathit{d}\ge 3$, if centered, scaled and averaged with respect to a test function $\mathit{\phi }\in {\mathit{C}}_{\mathit{c}}({\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$, converges in distribution to a Gaussian random variable with explicit variance. Introducing a new idea in this context of a martingale difference representation, we also prove that the log-partition function, which can be viewed as a discretisation of the KPZ equation, exhibits the same fluctuations, when centered and averaged with respect to a test function. Thus, the two models fall within the Edwards–Wilkinson universality class in the full ${\mathit{L}}^2$-regime, a result that was only established, so far, for a strict subset of this regime in $\mathit{d}\ge 3$.

Nous démontrons que dans tout le régime ${\mathit{L}}^2$, la fonction de partition du modèle de polymères dirigés en dimension $\mathit{d}\ge 3$, si elle est centrée, normalisée et moyennée par rapport à une fonction de test $\mathit{\phi }\in {\mathit{C}}_{\mathit{c}}({\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$, converge en distribution vers une variable aléatoire gaussienne dont la variance est explicite. En introduisant une nouvelle idée dans ce contexte de la représentation de différence de martingale, nous démontrons également que le logarithme de la fonction de partition, qui peut être vu comme une discrétisation de l’équation KPZ, possède les mêmes fluctuations, lorsqu’il est centré et moyenné par rapport à une fonction de test. En conséquence, tous les deux modèles se trouvent dans la classe d’universalité d’Edwards–Wilkinson dans tout le régime ${\mathit{L}}^2$, un résultat qui a seulement été établi jusque-là dans un sous-ensemble strict de ce régime en dimension $\mathit{d}\ge 3$.