Abstract
In the framework of axial data, the most classical test of uniformity on the unit sphere of is the Bingham (Ann. Statist. 2 (1974) 1201–1225) test. In this work, we study the non-null behaviour of this test in high-dimensional asymptotic scenarios where diverges to infinity with the sample size n. We consider a semiparametric class of alternatives that includes Watson alternatives and we derive a local asymptotic normality property. Le Cam’s third lemma reveals that the Bingham test is blind to the corresponding contiguous alternatives, though. By using martingale central limit theorems, we therefore study the behaviour of the Bingham test under more severe alternatives. Far from restricting to the aforementioned semiparametric alternatives, our results cover a broad class of rotationally symmetric alternatives, which allows us to consider non-axial alternatives, too. In every distributional framework we consider, the “detection threshold” of the Bingham test is identified and a comparison with the classical test of uniformity for non-axial data, namely the Rayleigh (Philos. Mag. 37 (1919) 321–346) test, is made possible. In the framework of axial data, we derive a lower bound on the minimax separation rate and establish that the Bingham test is minimax rate-optimal in the class of Watson distributions.
Pour des données axiales, le test d’uniformité le plus classique sur la sphère unité de est le test de Bingham (Ann. Statist. 2 (1974) 1201–1225). Dans cet article, nous étudions la puissance de ce test dans des scénarios asymptotiques de grande dimension pour lesquels diverge vers l’infini avec la taille d’échantillon n. Nous considérons une classe semiparamétrique de contre-hypothèses incluant les distributions de Watson et nous établissons une propriété de normalité locale asymptotique. Le troisième lemme de Le Cam révèle cependant que le test Bingham ne détecte pas les contre-hypothèses contiguës associées. En utilisant un théorème central limite pour des différences de martingales, nous étudions donc le comportement du test de Bingham sous des contre-hypothèses plus sévères. Loin de nous restreindre aux contre-hypothèses semiparamétriques mentionnées ci-dessus, nos résultats couvrent une large classe de contre-hypothèses à symétrie rotationnelle, ce qui nous permet de considérer également des contre-hypothèses non axiales. Dans chaque contexte distributionnel, nous obtenons le “seuil de détection” du test de Bingham, ce qui rend possible une comparaison avec le test classique d’uniformité pour des données non axiales, c’est-à-dire le test de Rayleigh (Philos. Mag. 37 (1919) 321–346). Dans le cas axial, nous déterminons une borne inférieure pour le taux de séparation minimax et établissons que le test de Bingham est minimax optimal dans la classe des distributions de Watson.
Acknowledgements
The authors would like to thank the anonymous referees, an Associate Editor and the Editor for their constructive comments that improved the quality of this paper. Davy Paindaveine’s research is supported by a research fellowship from the Francqui Foundation and by the Program of Concerted Research Actions (ARC) of the Université libre de Bruxelles. Thomas Verdebout’s research is supported by the ARC Program of the Université libre de Bruxelles and by the Crédit de Recherche J.0134.18 of the FNRS (Fonds National pour la Recherche Scientifique), Communauté Française de Belgique.
Citation
Christine Cutting. Davy Paindaveine. Thomas Verdebout. "Testing uniformity on high-dimensional spheres: The non-null behaviour of the Bingham test." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 58 (1) 567 - 602, February 2022. https://doi.org/10.1214/21-AIHP1168
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