Fluctuations of Brownian motions on GLN

Abstract

We consider a two parameter family of unitarily invariant diffusion processes on the general linear group ${\mathbb{GL}}_{\mathit{N}}$ of $\mathit{N}\times \mathit{N}$ invertible matrices, that includes the standard Brownian motion as well as the usual unitary Brownian motion as special cases. We prove that all such processes have Gaussian spectral fluctuations in high dimension with error of order $\mathit{O}(\frac{1}{\mathit{N}})$; this is in terms of the finite dimensional distributions of the process under a large class of test functions known as trace polynomials. We give an explicit characterization of the covariance of the Gaussian fluctuation field, which can be described in terms of a fixed functional of three freely independent free multiplicative Brownian motions. These results generalize earlier work of Lévy and Maïda, and Diaconis and Evans, on unitary groups.

Nous considérons une famille à deux paramètres de processus unitairement invariants sur le groupe général linéaire ${\mathbb{GL}}_{\mathit{N}}$ des matrices $\mathit{N}\times \mathit{N}$ inversibles, contenant comme cas particuliers le mouvement brownien standard ainsi que le mouvement brownien unitaire. Nous montrons que tous ces processus ont des fluctuations spectrales gaussiennes d’ordre $\mathit{O}(\frac{1}{\mathit{N}})$ en grande dimension ; ces fluctuations sont établies pour les distributions finies-dimensionnelles du processus sous une classe étendue de fonctions tests appelées polynômes à trace. Nous donnons une expression explicite de la covariance du champ gaussien des fluctuations en fonction d’une fonctionnelle particulière de trois mouvements browniens multiplicatifs librement indépendants. Ces résultats généralisent les précédents travaux de Lévy et Maïda, et de Diaconis et Evans, sur les groupes unitaires.