In this work we consider the two-dimensional percolation model arising from the majority dynamics process at a given time $\mathit{t}\in {\mathbb{R}}_{+}$. We show the emergence of a sharp threshold phenomenon for the box crossing event at the critical probability parameter ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{t})$ with polynomial size window. We then use this result in order to obtain stretched-exponential bounds on the one-arm event probability in the subcritical phase. Our results are based on differential inequalities derived from the OSSS inequality, inspired by the recent developments by Ahlberg, Broman, Griffiths, and Morris and by Duminil-Copin, Raoufi, and Tassion. We also provide analogous results for percolation in the voter model.

Dans ce travail, nous considérons le modèle de percolation bidimensionnel résultant du processus de dynamique d’opinions avec règle de la majorité à un temps donné $\mathit{t}\in {\mathbb{R}}_{+}$. Nous montrons l’existence d’un phénomène de seuil pour l’événement de traversée d’une région au paramètre de probabilité critique ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{t})$, avec une fenêtre de taille polynomiale. Nous utilisons ensuite ce résultat pour obtenir des bornes exponentielles étirées sur la probabilité de la présence d’un bras dans la phase sous-critique. Nos résultats sont basés sur des inégalités différentielles dérivées de l’inégalité OSSS et inspirées des développements récents d’Ahlberg, Broman, Griffiths et Morris et de Duminil-Copin, Raoufi et Tassion. Nous fournissons également des résultats analogues pour la percolation dans le modèle du votant.

We consider the Constrained-degree percolation model in random environment on the square lattice. In this model, each vertex v has an independent random constraint ${\mathit{\kappa }}_{\mathit{v}}$ which takes the value $\mathit{j}\in \{0,1,2,3\}$ with probability ${\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}$. Each edge e attempts to open at a random uniform time ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ in $[0,1]$, independently of all other edges. It succeeds if at time ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ both its end-vertices have degrees strictly smaller than their respectively attached constraints. We show that this model undergoes a non-trivial phase transition when ${\mathit{\rho }}_3$ is sufficiently large. The proof consists of a decoupling inequality, the continuity of the probability for local events, and a coarse-graining argument.

Nous considérons le modèle de percolation à degré contraint dans un environnement aléatoire sur le réseau carré. Dans ce modèle, chaque sommet v a une contrainte aléatoire indépendante ${\mathit{\kappa }}_{\mathit{v}}$ qui prend la valeur $\mathit{j}\in \{0,1,2,3\}$ avec probabilité ${\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}$. Chaque arête e tente de s’ouvrir à un temps uniforme aléatoire ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ dans $[0,1]$, indépendamment de toutes les autres arêtes. Il réussit si à l’instant ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ ses deux sommets d’extrémité ont des degrés strictement inférieurs à leurs contraintes respectives attachées. Nous montrons que ce modèle subit une transition de phase non triviale lorsque ${\mathit{\rho }}_3$ est suffisamment grand. La preuve consiste en une inégalité de découplage, la continuité de la probabilité des événements locaux et un argument de renormalisation.

For a given dimension $\mathit{d}\ge 2$ and a finite measure ν on $(0,+\infty )$, we consider ξ a Poisson point process on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\times (0,+\infty )$ with intensity measure $\mathit{d}\mathit{c}\otimes \mathit{\nu }$ where $\mathit{d}\mathit{c}$ denotes the Lebesgue measure on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. We consider the Boolean model $\mathrm{\Sigma }={\bigcup }_{(\mathit{c},\mathit{r})\in \mathit{\xi }}\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ where $\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ denotes the open ball centered at c with radius r. For every $\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, we define $\mathit{T}(\mathit{x},\mathit{y})$ as the minimum time needed to travel from x to y by a traveler that walks at speed 1 outside Σ and at infinite speed inside Σ. By a standard application of Kingman’s subadditive theorem, one easily shows that $\mathit{T}(0,\mathit{x})$ behaves like $\mathit{\mu }\Vert \mathit{x}\Vert$ when $\Vert \mathit{x}\Vert$ goes to infinity, where μ is a constant named the time constant in classical first passage percolation. In this paper we investigate the regularity of μ as a function of the measure ν associated with the underlying Boolean model. One of the key results is a uniform control of the length of “nice” geodesics. In the course of the proof, we need a continuum analogue of the BK inequality for unions of disjoint occurrences of events.

Etant donnés une dimension $\mathit{d}\ge 2$ et une mesure finie ν sur $(0,+\infty )$, nous considérons ξ un processus ponctuel de Poisson sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\times (0,+\infty )$ de mesure d’intensité $\mathit{d}\mathit{c}\otimes \mathit{\nu }$ où $\mathit{d}\mathit{c}$ désigne la mesure de Lebesgue sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. Nous considérons le modèle booléen $\mathrm{\Sigma }={\bigcup }_{(\mathit{c},\mathit{r})\in \mathit{\xi }}\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ où $\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ désigne la boule ouverte centrée en c et de rayon r. Pour tous $\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, nous définissons $\mathit{T}(\mathit{x},\mathit{y})$ comme le temps minimal nécessaire pour voyager de x à y pour un voyageur qui se déplace à vitesse 1 en dehors de Σ et à vitesse infinie dans Σ. Par une application standard du théorème ergodique sous-additif de Kingman, on peut facilement prouver que $\mathit{T}(0,\mathit{x})$ se comporte comme $\mathit{\mu }\Vert \mathit{x}\Vert$ quand $\Vert \mathit{x}\Vert$ tend vers l’infini, où μ est une constante appelée la constante de temps en percolation de premier passage classique. Dans cet article, nous étudions la régularité de μ comme fonction de la mesure ν associée au modèle booléen sous-jacent. Un des résultats clés est un contrôle uniforme de la longueur de “bonnes” géodésiques. Au cours de la preuve, nous avons recours à un analogue continu de l’inégalité BK pour des unions d’occurrences disjointes d’évènements.

We consider i.i.d. last-passage percolation on ${\mathbb{Z}}^2$ with weights having distribution F and time-constant ${\mathit{g}}_{\mathit{F}}$. We provide an explicit condition on the large deviation rate function for independent sums of F that determines when some adjacent Busemann function increments are negatively correlated. As an example, we prove that $Bernoulli(\mathit{p})$ weights for $\mathit{p}>{\mathit{p}}^{\ast }\approx 0.6504$ satisfy this condition. We prove this condition by establishing a direct relationship between the negative correlations of adjacent Busemann increments and the dominance of ${\mathit{g}}_{\mathit{F}}$ by the function describing the time-constant of last-passage percolation with exponential or geometric weights.

Nous considérons la percolation de dernier passage i.i.d. sur ${\mathbb{Z}}^2$ avec des poids de loi F et de constante temporelle ${\mathit{g}}_{\mathit{F}}$. Nous donnons une condition explicite sur la fonction de taux de grande déviation de la somme de variables aléatoires indépendantes de loi F, qui détermine quand certains accroissements de Busemann adjacents sont négativement corrélés. À titre d’exemple nous montrons que les poids $Bernoulli(\mathit{p})$ avec $\mathit{p}>{\mathit{p}}^{\ast }\approx 0.6504$ vérifient cette condition. Nous obtenons cette condition en établissant un lien direct entre les corrélations négatives des accroissements de Busemann adjacents et la domination de la constante temporelle ${\mathit{g}}_{\mathit{F}}$ par la fonction qui décrit la constante de temps de la percolation de dernier passage avec poids exponentiels ou géométriques.

Consider a uniformly sampled random d-regular graph on n vertices. If d is fixed and n goes to ∞ then we can relate typical (large probability) properties of such random graph to a family of invariant random processes (called “typical” processes) on the infinite d-regular tree ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. This correspondence between ergodic theory on ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$ and random regular graphs is already proven to be fruitful in both directions. This paper continues the investigation of typical processes with a special emphasis on entropy. We study a natural notion of micro-state entropy for invariant processes on ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. It serves as a quantitative refinement of the notion of typicality and is tightly connected to the asymptotic free energy in statistical physics. Using entropy inequalities, we provide new sufficient conditions for typicality for edge Markov processes. We also extend these notions and results to processes on unimodular Galton–Watson random trees.

On considère un graphe d-régulier aléatoire avec n sommets uniformément distribué. Si d est fixé et n tend vers l’infini, nous pouvons alors relier les propriétés typiques (de grande probabilité) d’un tel graphe aléatoire avec une famille de processus aléatoires invariants (dénommés processus “typiques”) sur l’arbre d-régulier infini ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. Cette correspondance entre théorie ergodique sur ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$ et graphes réguliers aléatoires s’est déjà révélée fructueuse dans les deux directions. Ce papier poursuit l’investigation des processus typiques avec un accent mis sur l’entropie. Nous y étudions une notion naturelle d’entropie micro-état pour les processus invariants sur ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. Elle sert de raffinement quantitatif à la notion de typicalité et elle est intimement reliée à l’énergie libre asymptotique en physique statistique. Au moyen d’inégalités entropiques, nous démontrons des nouvelles conditions suffisantes de typicalité pour des processus markoviens sur les arêtes de l’arbre. Nous étendons aussi ces notions et résultats à des processus sur des arbres de Galton–Watson unimodulaires.

In this work, a one-ended unimodular random planar triangulation is constructed that has no invariant circle packing; i.e., a circle packing such that its distribution is invariant under translations. This gives a negative answer to a problem posed by I. Benjamini and A. Timar (2019). A natural weaker problem is the existence, for unimodular graphs, of point-stationary circle packings, which are random circle packings that satisfy a certain mass transport principle. It is shown that this problem is related to the large scale properties of the circle packings and the answer is again negative. Two examples are provided with two different approaches: Using indistinguishability and approximation by finite graphs.

Dans ce travail, on construit une triangulation planaire aléatoire unimodulaire avec une extrémité qui n’a pas d’empilement de cercle invariant par translation. Ceci répond de façon négative à un problème posé par I. Benjamini et A. Timar (2019). Un autre problème naturel et moins exigeant est l’existence, pour les graphes unimodulaires, d’empilements de cercles ponctuellement-stationnaire, c’est à dire, d’empilements aléatoires de cercles vérifiant un certain principe de transport de masse. Il est démontré que ce problème est lié aux propriétés de grande échelle des empilements de cercles et que la réponse est encore négative. On donne deux exemples fondés sur deux approches différentes, l’un sur l’indistinguabilité, et l’autre sur l’approximation par des graphes finis.

We study the problem of the non-parametric estimation for the density π of the stationary distribution of a stochastic two-dimensional damping Hamiltonian system ${({\mathit{Z}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}={({\mathit{X}}_{\mathit{t}},{\mathit{Y}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}$. From the continuous observation of the sampling path on $[0,\mathit{T}]$, we study the rate of estimation for $\mathit{\pi }({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })$ as $\mathit{T}\to \infty$ where $({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })\in {\mathbb{R}}^2$. We show that kernel based estimators can achieve the rate ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$ for some explicit exponent $\mathit{v}\in (0,1/2)$. One finding is that the rate of estimation depends on the smoothness of π and is completely different with the rate appearing in the standard i.i.d. setting or in the case of two-dimensional non–degenerate diffusion processes. Especially, this rate depends also on ${\mathit{y}}_{\star }$. Moreover, we obtain a minimax lower bound on the ${\mathit{L}}^2$-risk for pointwise estimation, with the same rate ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$, up to $ln(\mathit{T})$ terms.

Nous étudions le problème de l’estimation non paramétrique pour la densité π de la distribution stationnaire d’une équation différentielle stochastique bi-dimensionnelle correspondant à un système Hamiltonien amorti ${({\mathit{Z}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}={({\mathit{X}}_{\mathit{t}},{\mathit{Y}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}$. Depuis l’observation continue d’une trajectoire sur $[0,\mathit{T}]$, nous étudions la vitesse d’estimation pour $\mathit{\pi }({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })$ quand $\mathit{T}\to \infty$ et $({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })\in {\mathbb{R}}^2$. Nous montrons que des estimateurs à noyau atteignent la vitesse ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$ pour un exposant explicite $\mathit{v}\in (0,1/2)$. Nous trouvons que la vitesse d’estimation dépend de la régularité de π et est complètement différente des vitesses apparaissant dans le cadre classique des variables i.i.d. ou dans celui d’une diffusion bi-dimensionnelle non dégénérée. En particulier, cette vitesse dépend aussi de ${\mathit{y}}_{\star }$. De plus, nous obtenons une minoration du risque minimax ${\mathit{L}}^2$ pour l’estimation ponctuelle, avec la même vitesse ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$, à des facteurs $ln(\mathit{T})$ près.

Up to now, the nonparametric analysis of multidimensional continuous-time Markov processes has focussed strongly on specific model choices, mostly related to symmetry of the semigroup. While this approach allows to study the performance of estimators for the characteristics of the process in the minimax sense, it restricts the applicability of results to a rather constrained set of stochastic processes and in particular hardly allows incorporating jump structures. As a consequence, for many models of applied and theoretical interest, no statement can be made about the robustness of typical statistical procedures beyond the beautiful, but limited framework available in the literature. To contribute to the statistical understanding in more general situations, we demonstrate how combining β-mixing assumptions on the process and heat kernel bounds on the transition density representing controls on the long- and short-time transitional behaviour, allow to obtain sup-norm and ${\mathit{L}}^2$ kernel invariant density estimation rates that match the well-understood case of reversible multidimensional diffusion processes and are faster than in a sampled discrete data scenario. Moreover, we demonstrate how, up to log-terms, optimal sup-norm adaptive invariant density estimation can be achieved within our framework, based on tight uniform moment bounds and deviation inequalities for empirical processes associated to additive functionals of Markov processes. The underlying assumptions are verifiable with classical tools from stability theory of continuous-time Markov processes and PDE techniques, which opens the door to evaluate statistical performance for a vast amount of popular Markov models. We highlight this point by showing how multidimensional jump SDEs with Lévy-driven jump part under different coefficient assumptions can be seamlessly integrated into our framework, thus establishing novel adaptive sup-norm estimation rates for this class of processes.

La statistique non-paramétrique des processus de Markov reste le plus souvent confinée à des modèles spécifiques, essentiellement en lien avec des propriétés de symétrie du semigroupe de Markov associé. Bien que cette approche permette une étude minimax des estimateurs des paramètres caractérisant la dynamique du processus, elle restreint les résultats à un ensemble relativement contraint de modèles envisageables, ne permettant par exemple l’incorporation de sauts que difficilement. En conséquence, pour de nombreux modèles intéressants tant en théorie qu’en pratique, peu de propriétés sur la robustesse de procédures habituelles sont disponibles au delà d’un cadre élégant mais limité. Afin de contribuer à une meilleure compréhension dans des situations plus générales, nous démontrons comment la combinaison d’hypothèses de β-mélange avec des bornes de type noyau de la chaleur sur les probabilités de transitions qui contrôlent le comportement temps long et temps court du processus permettent d’obtenir des vitesses d’estimation en norme uniforme et dans ${\mathit{L}}^2$ de la densité invariante compatibles avec le cas bien compris des diffusions multidimensionelles réversibles, et qui sont plus rapides que pour des observations discrètes. De plus, nous montrons comment, à des termes logarithmiques près, l’estimation adaptative optimale en norme uniforme est atteignable dans notre cadre, en nous reposant sur des bornes fines de déviation du processus empirique associé à des fonctionnelles additives. Les hypothèses sous-jacentes sont facilement vérifiables avec des outils classiques de stabilité des processus de Markov ainsi qu’avec des techniques d’EDP. Ceci permet l’étude des performance statistiques d’estimateurs pour une classe plus large de modèles markoviens populaires. Nous montrons en particulier comment des EDS avec sauts conduites par des processus de Lévy sont incorporées dans notre cadre, ce qui nous permet d’établir de nouvelles vitesses d’estimation en perte uniforme pour cette classe de processus.

We study the maximum of Branching Brownian motion (BBM) with branching rates that vary in space, via a periodic function of a particle’s location. This corresponds to a variant of the F-KPP equation in a periodic medium, extensively studied in the last 15 years, admitting pulsating fronts as solutions. Recent progress on this PDE due to Hamel, Nolen, Roquejoffre and Ryzhik (’16) implies tightness for the centered maximum of BBM in a periodic environment. Here we establish the convergence in distribution of specific subsequences of this centered maximum, and identify the limiting distribution. Consequently, we find the asymptotic shift between the solution to the corresponding F-KPP equation with Heavyside initial data and the pulsating wave, thereby answering a question of Hamel et al. Analogous results are given for the cases where the Brownian motion is replaced by an Ito diffusion with periodic coefficients, as well as for nearest-neighbor branching random walks.

Nous étudions le maximum du mouvement Brownian branchant (BBM) avec des taux de branchement qui varient en l’espace, via une fonction périodique. Ceci correspond à une variante de l’équation de F-KPP en milieu périodique, largement étudiée au cours des 15 dernière années, qui admet des fronts pulsés comme solutions. Les progrès récents sur cette EDP de Hamel, Nolen, Roquejoffre and Ryzhik (’16) impliquent la tension du maximum centré du BBM en milieu périodique. Ici, nous établissons la convergence en distribution de sous-suites spécifiques de ce maximum centré, et identifions la loi limite. Par conséquent, nous trouvons le décalage asymptotique entre la solution de l’équation F-KPP correspondante avec les données initiales Heavyside et l’onde pulsatoire, répondant ainsi à une question de Hamel et al. Des résultats analogues sont donnés pour les cas où le mouvement Brownien est remplacé par une diffusion de Ito à coefficients périodiques, ainsi que pour les marches aléatoires branchantes au plus proche voisin.

In this article, we study the extremal processes of branching Brownian motions conditioned on having an unusually large maximum. The limiting point measures form a one-parameter family and are the decoration point measures in the extremal processes of several branching processes, including branching Brownian motions with variable speed and multitype branching Brownian motions. We give a new, alternative representation of these point measures and we show that they form a continuous family. This also yields a simple probabilistic expression for the constant that appears in the large deviation probability of having a large displacement. As an application, we show that Bovier and Hartung’s (ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 12 (2015) 261–291) results about variable speed branching Brownian motion also describe the extremal point process of branching Ornstein–Uhlenbeck processes.

Le présent article a pour objet l’étude du processus extrémal du mouvement Brownien branchant conditionné à avoir une particule anormalement loin à droite. Ces mesures ponctuelles limites forment une famille à un paramètre et apparaissent dans les processus extrémaux de plusieurs processus de branchement tels que le mouvement Brownien branchant avec vitesse variable ou certains mouvement Brownien branchants multitype. Nous donnons une nouvelle représentation de ces mesures ponctuelles et nous montrons qu’elles forment une famille continue de lois. Nous obtenons ainsi une expression probabiliste simple de la constante qui apparaît dans le principe de grande déviation pour un déplacement anormal de la particule la plus à droite d’un mouvement Brownien branchant. Finalement, nous appliquons ces résultats pour montrer que les travaux de Bovier et Hartung (ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 12 (2015) 261–291) sur le mouvement Brownien branchant avec vitesse variable décrivent également le processus extrémal du processus d’Ornstein–Uhlenbeck branchant.

We investigate the zero set of a stationary Gaussian process on the real line, and in particular give lower bounds for the variance of the number of points and of linear statistics on a large interval, in all generality. We prove that this point process is never hyperuniform, i.e. the variance is at least linear, and give a necessary condition to have linear variance, which is close to be sufficient. We study the class of symmetric Bernoulli convolutions and give an example where the zero set is maximally rigid, weakly mixing, and not hyperuniform.

On étudie l’ensemble formé par les zéros d’un processus Gaussien stationnaire sur la droite réelle, et on donne en particulier des bornes inférieures sur la variance du nombre de zéros et des statistiques linéaires sur un grand intervalle, en toute généralité. On montre que ce processus de points n’est jamais hyperuniforme, i.e. la variance est toujours au moins linéaire, et on donne une condition nécessaire pour avoir une variance linéaire, cette condition est proche d’être suffisante. On étudie la classe des convolutions symmétriques de Bernoulli et donnons un exemple où l’ensemble des zéros est maximalement rigide, faiblement mélangeant, et pas hyperuniforme.

We consider lattice gauge theories on ${\mathbb{Z}}^4$ with Wilson action and structure group ${\mathbb{Z}}_{\mathit{n}}$. We compute the expectation of Wilson loop observables to leading order in the weak coupling regime, extending and refining a recent result of Chatterjee. Our proofs use neither duality relations nor cluster expansion techniques.

Nous considérons les théories de jauge sur réseau sur ${\mathbb{Z}}^4$ avec l’action de Wilson et le groupe de structure ${\mathbb{Z}}_{\mathit{n}}$. Nous calculons l’espérance des observables de la boucle de Wilson à l’ordre principal dans le régime de couplage faible, prolongeant et affinant un résultat récent de Chatterjee. Nos preuves n’utilisent ni relations de dualité ni techniques d’expansion d’amas.

We give asymptotic estimations on the area of the set of points with large Brownian winding, and study the average winding between a planar Brownian motion and a Poisson point process of large intensity on the plane. This allows us to give a new definition of the Lévy area which does not rely on piecewise linear approximations of the Brownian path.

On donne une estimation asymptotique de l’aire de l’ensemble des points autour desquels le mouvement brownian s’enlace un grand nombre de fois, et on étudie l’enlacement moyen entre un mouvement brownian plan et un processus de Poisson de grande intensité dans le plan. Cela nous permet de donner une nouvelle définition de l’aire de Lévy, qui ne repose pas sur des approximations linéaires par morceaux du chemin brownien.

The eigenvalues for the minors of real symmetric ($\mathit{\beta }=1$) and complex Hermitian ($\mathit{\beta }=2$) Wigner matrices form the Wigner corner process, which is a multilevel interlacing particle system. In this paper, we study the microscopic scaling limit of the Wigner corner process both near the spectral edge and in the bulk, and prove they are universal. We show: (i) Near the spectral edge, the corner process exhibit a decoupling phenomenon, as first observed in (Adv. Math. 304 (2017) 90–130). Individual extreme particles have Tracy-Widom_β distribution; the spacings between the extremal particles on adjacent levels converge to independent Gamma distributions in a much smaller scale. (ii) In the bulk, the microscopic scaling limit of the Wigner corner process is given by the bead process for general Sine_β process, as constructed recently in (Probab. Theory Related Fields 179 (2021) 589–647).

Les valeurs propres des mineurs des matrices de Wigner symétriques réelles $(\mathit{\beta }=1)$ et hermitiennes complexes $(\mathit{\beta }=2)$ forment le processus des coins de matrices de Wigner, qui est un système multi-niveaux des particules entrelacées. Dans cet article, nous étudions la limite d’échelle microscopique du processus des coins de matrices de Wigner à la fois près du bord spectral et loin du bord, et prouvons qu’elles sont universelles. Nous montrons : (i) Près du bord spectral, le processus des coins présente un phénomène de découplage, comme observé pour la première fois dans (Adv. Math. 304 (2017) 90–130). Les particules extrémales individuelles ont une distribution Tracy-Widom_β ; les espacements entre les particules extrémales sur les niveaux adjacents convergent vers des distributions gamma indépendantes à une échelle beaucoup plus petite. (ii) Loin du bord, la limite d’échelle microscopique du processus des coins de matrices de Wigner est donnée par le processus des perles pour le processus Sine_β général, tel qu’il a été construit récemment dans (Probab. Theory Related Fields 179 (2021) 589–647).

We consider a symmetric matrix-valued Gaussian process ${\mathit{Y}}^{(\mathit{n})}=({\mathit{Y}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t});\mathit{t}\ge 0)$ and its empirical spectral measure process ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{n})}=({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}^{(\mathit{n})};\mathit{t}\ge 0)$. Under some mild conditions on the covariance function of ${\mathit{Y}}^{(\mathit{n})}$, we find an explicit expression for the limit distribution of

$${\mathit{Z}}_{\mathit{F}}^{(\mathit{n})}:=\left(\right({\mathit{Z}}_{{\mathit{f}}_1}^{(\mathit{n})}(\mathit{t}),\dots ,{\mathit{Z}}_{{\mathit{f}}_{\mathit{r}}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t}));\mathit{t}\ge 0),$$

where $\mathit{F}=({\mathit{f}}_1,\dots ,{\mathit{f}}_{\mathit{r}})$, for $\mathit{r}\ge 1$, with each component belonging to a large class of test functions, and

$${\mathit{Z}}_{\mathit{f}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t}):=\mathit{n}{\int }_{\mathbb{R}}\mathit{f}(\mathit{x}){\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}^{(\mathit{n})}(\mathrm{d}\mathit{x})-\mathit{n}\mathbb{E}[{\int }_{\mathbb{R}}\mathit{f}(\mathit{x}){\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}^{(\mathit{n})}(\mathrm{d}\mathit{x})].$$

More precisely, we establish the stable convergence of ${\mathit{Z}}_{\mathit{F}}^{(\mathit{n})}$ and determine its limiting distribution. An upper bound for the total variation distance of the law of ${\mathit{Z}}_{\mathit{f}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t})$ to its limiting distribution, for a test function f and $\mathit{t}\ge 0$ fixed, is also given.

Nous considérons un processus gaussien symétrique à valeurs matricielles ${\mathit{Y}}^{(\mathit{n})}=({\mathit{Y}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t});\mathit{t}\ge 0)$ et son processus des mesures spectrales empiriques ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{n})}=({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}^{(\mathit{n})};\mathit{t}\ge 0)$. Sous des conditions assez faibles sur la fonction de covariance de ${\mathit{Y}}^{(\mathit{n})}$ nous trouvons une expression explicite pour la loi limite de

$${\mathit{Z}}_{\mathit{F}}^{(\mathit{n})}:=\left(\right({\mathit{Z}}_{{\mathit{f}}_1}^{(\mathit{n})}(\mathit{t}),\dots ,{\mathit{Z}}_{{\mathit{f}}_{\mathit{r}}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t}));\mathit{t}\ge 0),$$

où $\mathit{F}=({\mathit{f}}_1,\dots ,{\mathit{f}}_{\mathit{r}})$, pour $\mathit{r}\ge 1$, avec chaque composant appartenant à une grande classe des fonctions test, et

$${\mathit{Z}}_{\mathit{f}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t}):=\mathit{n}{\int }_{\mathbb{R}}\mathit{f}(\mathit{x}){\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}^{(\mathit{n})}(\mathrm{d}\mathit{x})-\mathit{n}\mathbb{E}[{\int }_{\mathbb{R}}\mathit{f}(\mathit{x}){\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}^{(\mathit{n})}(\mathrm{d}\mathit{x})].$$

Plus précism´ent, nous établissons la convergence stable de ${\mathit{Z}}_{\mathit{F}}^{(\mathit{n})}$ et nous déterminons sa loi limite. Nous donnons également une borne supérieure pour la distance en variation totale entre la loi de ${\mathit{Z}}_{\mathit{f}}^{(\mathit{n})}(\mathit{t})$ et sa loi limite, pour une fonction test f et $\mathit{t}\ge 0$ fixés.

We study the distribution of the supremum of the Airy process with m wanderers minus a parabola, or equivalently the limit of the rescaled maximal height of a system of N non-intersecting Brownian bridges as $\mathit{N}\to \infty$, where the first $\mathit{N}-\mathit{m}$ paths start and end at the origin and the remaining m go between arbitrary positions. The distribution provides a $2\mathit{m}$-parameter deformation of the Tracy–Widom GOE distribution, which is recovered in the limit corresponding to all Brownian paths starting and ending at the origin.

We provide several descriptions of this distribution function: (i) A Fredholm determinant formula; (ii) A formula in terms of Painlevé II functions; (iii) A representation as a marginal of the KPZ fixed point with initial data given as the top path in a stationary system of reflected Brownian motions with drift; (iv) A characterization as the solution of a version of the Bloemendal–Virag PDE (Probab. Theory Related Fields 156 (2013) 795–825; Ann. Probab. 44 (2016) 2726–2769) for spiked Tracy–Widom distributions; (v) A representation as a solution of the KdV equation. We also discuss connections with a model of last passage percolation with boundary sources.

Nous étudions la loi du supremum du processus d’Airy à m promeneurs, moins une parabole, ou de manière équivalente, la limite de la hauteur maximale rééchelonnée d’un système de N ponts browniens non intersectants, lorsque $\mathit{N}\to \infty$, où les $\mathit{N}-\mathit{m}$ premiers chemins commencent et terminent à l’origine et les m restants lient des positions arbitraires. Cette loi fournit une déformation à $2\mathit{m}$ paramètres de la loi GOE de Tracy–Widom, qui est retrouvée comme limite lorsque tous les chemins browniens qui commencent et terminent à l’origine. Nous fournissons plusieurs descriptions de cette loi : (i) une formule utilisant un déterminant de Fredholm ; (ii) une formule en termes de fonctions de Painlevé II ; (iii) une représentation en tant que marginal du point fixe KPZ, avec des données initiales données par le chemin supérieur d’un système stationnaire de mouvements browniens avec dérive réfléchis ; (iv) une caractérisation comme solution d’une version de l’EDP de Bloemendal–Virag (Probab. Theory Related Fields 156 (2013) 795–825 ; Ann. Probab. 44 (2016) 2726–2769) pour des lois de Tracy–Widom avec pointes ; (v) une représentation en tant que solution de l’équation KdV. Nous discutons aussi des liens avec un modèle de percolation de dernier passage avec source à la frontière.

For a fixed quadratic polynomial $\mathfrak{p}$ in n non-commuting variables, and n independent $\mathit{N}\times \mathit{N}$ complex Ginibre matrices ${\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}}$, we establish the convergence of the empirical measure of the eigenvalues of ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}=\mathfrak{p}({\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}})$ to the Brown measure of $\mathfrak{p}$ evaluated at n freely independent circular elements ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_{\mathit{n}}$ in a non-commutative probability space. As in previous works on non-normal random matrices, a key step is to obtain quantitative control on the pseudospectrum of ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}$. Via a linearization trick of Haagerup–Thorbjørnsen for lifting non-commutative polynomials to tensors, we obtain this as a consequence of a lower tail estimate for the smallest singular value of patterned block matrices with strongly dependent entries. This reduces to establishing anti-concentration for determinants of random walks in a matrix space of bounded dimension, for which we encounter novel structural obstacles of an algebro-geometric nature.

Pour un polynôme quadratique $\mathfrak{p}$ en n variables non-commutatives, et n matrices $\mathit{N}\times \mathit{N}$ de Ginibre complexes ${\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}}$, nous établissons la convergence de la mesure empirique des valeurs propres de ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}=\mathfrak{p}({\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}})$ vers la mesure de Brown de $\mathfrak{p}$ évaluée en n éléments circulaires librement indépendants ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_{\mathit{n}}$ dans un espace de probabilité non-commutatif. Comme dans de précédents travaux portant sur des matrices aléatoires non normales, une étape clé est d’obtenir un contrôle qualitatif sur le pseudo-spectre de ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}$. Par une méthode de linéarisation due à Haagerup et Thorbjørnsen qui permet de relever les polynômes non-commutatifs en des tenseurs, nous obtenons ce contrôle comme conséquence d’une estimée de la queue de la loi de la plus petite valeur singulière d’une matrice dotée d’une structure par blocs avec des coefficients fortement dépendants. Cela nous ramène à établir l’anti-concentration pour les déterminants de marches aléatoires dans un espace de matrices de dimension bornée, pour lesquelles nous rencontrons de nouveaux obstacles de nature algèbrico-géométriques.

We prove a zero-one law for the stationary measure for algebraic sets generalizing the results of Furstenberg (Proc. Sympos. Pure Math. 26 (1973) 193–229) and Guivarc’h and Le Page (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52(2) (2016) 503–574). As an application, we establish a local limit theorem for the coefficients of random walks on the general linear group.

Nous prouvons une loi zéro-un pour la mesure stationnaire pour des ensembles algébriques en généralisant les résultats de Furstenberg (Proc. Sympos. Pure Math. 26 (1973) 193–229) et Guivarc’h et Le Page (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52(2) (2016) 503–574). Comme application, nous établissons un théorème local limite pour les coefficients de marches aléatoires sur le groupe linéaire général.

We consider a one dimensional ballistic nearest-neighbor random walk in a random environment. We prove an Erdős-Rényi–Shepp strong law for the increments.

Nous considérons une marche aléatoire unidimensionnelle au plus proche voisin, en milieu aléatoire. Nous démontrons une loi forte de grands nombres de type Erdős-Rényi–Shepp pour les accroissements.