Maximum of branching Brownian motion in a periodic environment

Abstract

We study the maximum of Branching Brownian motion (BBM) with branching rates that vary in space, via a periodic function of a particle’s location. This corresponds to a variant of the F-KPP equation in a periodic medium, extensively studied in the last 15 years, admitting pulsating fronts as solutions. Recent progress on this PDE due to Hamel, Nolen, Roquejoffre and Ryzhik (’16) implies tightness for the centered maximum of BBM in a periodic environment. Here we establish the convergence in distribution of specific subsequences of this centered maximum, and identify the limiting distribution. Consequently, we find the asymptotic shift between the solution to the corresponding F-KPP equation with Heavyside initial data and the pulsating wave, thereby answering a question of Hamel et al. Analogous results are given for the cases where the Brownian motion is replaced by an Ito diffusion with periodic coefficients, as well as for nearest-neighbor branching random walks.

Nous étudions le maximum du mouvement Brownian branchant (BBM) avec des taux de branchement qui varient en l’espace, via une fonction périodique. Ceci correspond à une variante de l’équation de F-KPP en milieu périodique, largement étudiée au cours des 15 dernière années, qui admet des fronts pulsés comme solutions. Les progrès récents sur cette EDP de Hamel, Nolen, Roquejoffre and Ryzhik (’16) impliquent la tension du maximum centré du BBM en milieu périodique. Ici, nous établissons la convergence en distribution de sous-suites spécifiques de ce maximum centré, et identifions la loi limite. Par conséquent, nous trouvons le décalage asymptotique entre la solution de l’équation F-KPP correspondante avec les données initiales Heavyside et l’onde pulsatoire, répondant ainsi à une question de Hamel et al. Des résultats analogues sont donnés pour les cas où le mouvement Brownien est remplacé par une diffusion de Ito à coefficients périodiques, ainsi que pour les marches aléatoires branchantes au plus proche voisin.