Adaptive invariant density estimation for continuous-time mixing Markov processes under sup-norm risk

Abstract

Up to now, the nonparametric analysis of multidimensional continuous-time Markov processes has focussed strongly on specific model choices, mostly related to symmetry of the semigroup. While this approach allows to study the performance of estimators for the characteristics of the process in the minimax sense, it restricts the applicability of results to a rather constrained set of stochastic processes and in particular hardly allows incorporating jump structures. As a consequence, for many models of applied and theoretical interest, no statement can be made about the robustness of typical statistical procedures beyond the beautiful, but limited framework available in the literature. To contribute to the statistical understanding in more general situations, we demonstrate how combining β-mixing assumptions on the process and heat kernel bounds on the transition density representing controls on the long- and short-time transitional behaviour, allow to obtain sup-norm and ${\mathit{L}}^2$ kernel invariant density estimation rates that match the well-understood case of reversible multidimensional diffusion processes and are faster than in a sampled discrete data scenario. Moreover, we demonstrate how, up to log-terms, optimal sup-norm adaptive invariant density estimation can be achieved within our framework, based on tight uniform moment bounds and deviation inequalities for empirical processes associated to additive functionals of Markov processes. The underlying assumptions are verifiable with classical tools from stability theory of continuous-time Markov processes and PDE techniques, which opens the door to evaluate statistical performance for a vast amount of popular Markov models. We highlight this point by showing how multidimensional jump SDEs with Lévy-driven jump part under different coefficient assumptions can be seamlessly integrated into our framework, thus establishing novel adaptive sup-norm estimation rates for this class of processes.

La statistique non-paramétrique des processus de Markov reste le plus souvent confinée à des modèles spécifiques, essentiellement en lien avec des propriétés de symétrie du semigroupe de Markov associé. Bien que cette approche permette une étude minimax des estimateurs des paramètres caractérisant la dynamique du processus, elle restreint les résultats à un ensemble relativement contraint de modèles envisageables, ne permettant par exemple l’incorporation de sauts que difficilement. En conséquence, pour de nombreux modèles intéressants tant en théorie qu’en pratique, peu de propriétés sur la robustesse de procédures habituelles sont disponibles au delà d’un cadre élégant mais limité. Afin de contribuer à une meilleure compréhension dans des situations plus générales, nous démontrons comment la combinaison d’hypothèses de β-mélange avec des bornes de type noyau de la chaleur sur les probabilités de transitions qui contrôlent le comportement temps long et temps court du processus permettent d’obtenir des vitesses d’estimation en norme uniforme et dans ${\mathit{L}}^2$ de la densité invariante compatibles avec le cas bien compris des diffusions multidimensionelles réversibles, et qui sont plus rapides que pour des observations discrètes. De plus, nous montrons comment, à des termes logarithmiques près, l’estimation adaptative optimale en norme uniforme est atteignable dans notre cadre, en nous reposant sur des bornes fines de déviation du processus empirique associé à des fonctionnelles additives. Les hypothèses sous-jacentes sont facilement vérifiables avec des outils classiques de stabilité des processus de Markov ainsi qu’avec des techniques d’EDP. Ceci permet l’étude des performance statistiques d’estimateurs pour une classe plus large de modèles markoviens populaires. Nous montrons en particulier comment des EDS avec sauts conduites par des processus de Lévy sont incorporées dans notre cadre, ce qui nous permet d’établir de nouvelles vitesses d’estimation en perte uniforme pour cette classe de processus.