Sharp threshold for two-dimensional majority dynamics percolation

Abstract

In this work we consider the two-dimensional percolation model arising from the majority dynamics process at a given time $\mathit{t}\in {\mathbb{R}}_{+}$. We show the emergence of a sharp threshold phenomenon for the box crossing event at the critical probability parameter ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{t})$ with polynomial size window. We then use this result in order to obtain stretched-exponential bounds on the one-arm event probability in the subcritical phase. Our results are based on differential inequalities derived from the OSSS inequality, inspired by the recent developments by Ahlberg, Broman, Griffiths, and Morris and by Duminil-Copin, Raoufi, and Tassion. We also provide analogous results for percolation in the voter model.

Dans ce travail, nous considérons le modèle de percolation bidimensionnel résultant du processus de dynamique d’opinions avec règle de la majorité à un temps donné $\mathit{t}\in {\mathbb{R}}_{+}$. Nous montrons l’existence d’un phénomène de seuil pour l’événement de traversée d’une région au paramètre de probabilité critique ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{t})$, avec une fenêtre de taille polynomiale. Nous utilisons ensuite ce résultat pour obtenir des bornes exponentielles étirées sur la probabilité de la présence d’un bras dans la phase sous-critique. Nos résultats sont basés sur des inégalités différentielles dérivées de l’inégalité OSSS et inspirées des développements récents d’Ahlberg, Broman, Griffiths et Morris et de Duminil-Copin, Raoufi et Tassion. Nous fournissons également des résultats analogues pour la percolation dans le modèle du votant.