Spectrum and pseudospectrum for quadratic polynomials in Ginibre matrices

Abstract

For a fixed quadratic polynomial $\mathfrak{p}$ in n non-commuting variables, and n independent $\mathit{N}\times \mathit{N}$ complex Ginibre matrices ${\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}}$, we establish the convergence of the empirical measure of the eigenvalues of ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}=\mathfrak{p}({\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}})$ to the Brown measure of $\mathfrak{p}$ evaluated at n freely independent circular elements ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_{\mathit{n}}$ in a non-commutative probability space. As in previous works on non-normal random matrices, a key step is to obtain quantitative control on the pseudospectrum of ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}$. Via a linearization trick of Haagerup–Thorbjørnsen for lifting non-commutative polynomials to tensors, we obtain this as a consequence of a lower tail estimate for the smallest singular value of patterned block matrices with strongly dependent entries. This reduces to establishing anti-concentration for determinants of random walks in a matrix space of bounded dimension, for which we encounter novel structural obstacles of an algebro-geometric nature.

Pour un polynôme quadratique $\mathfrak{p}$ en n variables non-commutatives, et n matrices $\mathit{N}\times \mathit{N}$ de Ginibre complexes ${\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}}$, nous établissons la convergence de la mesure empirique des valeurs propres de ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}=\mathfrak{p}({\mathit{X}}_1^{\mathit{N}},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^{\mathit{N}})$ vers la mesure de Brown de $\mathfrak{p}$ évaluée en n éléments circulaires librement indépendants ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_{\mathit{n}}$ dans un espace de probabilité non-commutatif. Comme dans de précédents travaux portant sur des matrices aléatoires non normales, une étape clé est d’obtenir un contrôle qualitatif sur le pseudo-spectre de ${\mathit{P}}^{\mathit{N}}$. Par une méthode de linéarisation due à Haagerup et Thorbjørnsen qui permet de relever les polynômes non-commutatifs en des tenseurs, nous obtenons ce contrôle comme conséquence d’une estimée de la queue de la loi de la plus petite valeur singulière d’une matrice dotée d’une structure par blocs avec des coefficients fortement dépendants. Cela nous ramène à établir l’anti-concentration pour les déterminants de marches aléatoires dans un espace de matrices de dimension bornée, pour lesquelles nous rencontrons de nouveaux obstacles de nature algèbrico-géométriques.