Mott variable-range hopping is a fundamental mechanism for low-temperature electron conduction in disordered solids in the regime of Anderson localization. In a mean field approximation, it reduces to a random walk (shortly, Mott random walk) on a random marked point process with possible long-range jumps.

We consider here the one-dimensional Mott random walk and we add an external field (or a bias to the right). We show that the bias makes the walk transient, and investigate its linear speed. Our main results are conditions for ballisticity (positive linear speed) and for sub-ballisticity (zero linear speed), and the existence in the ballistic regime of an invariant distribution for the environment viewed from the walker, which is mutually absolutely continuous with respect to the original law of the environment. If the point process is a renewal process, the aforementioned conditions result in a sharp criterion for ballisticity. Interestingly, the speed is not always continuous as a function of the bias.

Le « Mott variable-range hopping » est un mécanisme décrivant la conduction des electrons dans des solides désordonnés dans le régime de localisation d’Anderson. Sous l’approximation de champ moyen, le modèle se réduit à une marche aléatoire (marche aléatoire de Mott) sur un processus ponctuel. Cette marche peut sauter d’un point du processus ponctuel à n’importe quel autre, les sauts ne sont donc pas limités en taille.

Nous considerons une marche aléatoire de Mott unidimensionelle soumis à un champ extérieur (équivalent à un biais à droite). Nous montrons que la marche biaisée est transiente, et nous étudions sa vitesse linéaire. Nos résultats principaux sont des conditions pour la ballisticité (vitesse strictement positif) et la sous-ballisticité (vitesse nulle). Dans le regime ballistique, nous montrons l’existence d’une mesure invariante pour l’environment vu par la particule, absolument continue par rapport à la mesure originale. Si le processus ponctuel est un processus de renouvellement, nos conditions deviennent une condition nécessaire et suffisante pour la ballisticité. Nous montrons ainsi que la vitesse de la marche n’est pas, en général, une fonction continue du biais.

We study the long time behavior of the stochastic quantization equation. Extending recent results by Mourrat and Weber (Global well-posedness of the dynamic $\phi^{4}$ in the plane (2015) Preprint) we first establish a strong non-linear dissipative bound that gives control of moments of solutions at all positive times independent of the initial datum. We then establish that solutions give rise to a Markov process whose transition semigroup satisfies the strong Feller property. Following arguments by Chouk and Friz (Support theorem for a singular SPDE: the case of gPAM (2016) Preprint) we also prove a support theorem for the laws of the solutions. Finally all of these results are combined to show that the transition semigroup satisfies the Doeblin criterion which implies exponential convergence to equilibrium.

Along the way we give a simple direct proof of the Markov property of solutions and an independent argument for the existence of an invariant measure using the Krylov–Bogoliubov existence theorem. Our method makes no use of the reversibility of the dynamics or the explicit knowledge of the invariant measure and it is therefore in principle applicable to situations where these are not available, e.g. the vector-valued case.

Nous étudions le comportement sur le long terme de l’équation de quantification stochastique. Dans la continuité de récents résultats par Mourrat et Weber (Global well-posedness of the dynamic $\phi^{4}$ in the plane (2015) Preprint), nous établissons en premier lieu une borne dissipative forte non-linéaire qui contrôle les moments des solutions, pour tout choix de temps, indépendamment des conditions initiales. Nous prouvons ensuite que les solutions génèrent un processus Markovien dont le semigroupe satisfait la propriété de Feller forte. Nous obtenons également un théorème pour le support des lois des solutions grâce à des arguments adaptés de Chouk et Friz (Support theorem for a singular SPDE: the case of gPAM (2016) Preprint). Enfin, en combinant tous ces résultats, nous montrons que le semigroupe de transition satisfait le critère de Doeblin, ce qui entraine une convergence exponentielle vers l’équilibre.

Nous obtenons également au passage une preuve directe de la propriété de Markov pour les solutions, ainsi qu’un argument indépendant pour l’existence de mesures invariantes en utilisant le théorème d’existence de Krylov–Bogoliubov. Notre méthode n’utilise pas le caractère réversible de la dynamique ni la connaissance explicite de la mesure invariante, et peut donc en théorie s’appliquer dans des cas où ces propriétés ne sont pas connues, par exemple le cas vectoriel.

We consider asymptotics of a domino tiling model on a class of domains which we call rectangular Aztec diamonds. We prove the Law of Large Numbers for the corresponding height functions and provide explicit formulas for the limit. For a special class of examples, the explicit parametrization of the frozen boundary is given. It turns out to be an algebraic curve with very special properties. Moreover, we establish the convergence of the fluctuations of the height functions to the Gaussian Free Field in appropriate coordinates. Our main tool is a recently developed moment method for discrete particle systems.

Nous nous intéressons aux propriétés asymptotiques d’un modèle de pavage par dominos sur une classe de domaines que nous appelons les diamants aztèques rectangulaires. Nous prouvons une loi des grands nombres pour les fonctions de hauteur correspondantes, et donnons des formules explicites pour la limite. Pour une classe d’exemples particulière, nous pouvons donner la paramétrisation explicite de la frontière gelée. Cette dernière se trouve être une courbe algébrique aux propriétés très particulières. De plus, nous établissons la convergence des fluctuations des fonctions de hauteur vers le champ libre gaussien dans des coordonnées appropriées. Notre outil principal est une méthode de moments développée récemment dans le cadre des systèmes de particules discrets.

We consider a branching random walk on the lattice, where the branching rates are given by an i.i.d. Pareto random potential. We show that the system of particles, rescaled in an appropriate way, converges in distribution to a scaling limit that is interesting in its own right. We describe the limit object as a growing collection of “lilypads” built on a Poisson point process in $\mathbb{R}^{d}$. As an application of our main theorem, we show that the maximizer of the system displays the ageing property.

Nous considérons une marche aléatoire branchante sur un réseau, où les taux de branchement sont donnés par un potentiel aléatoire i.i.d. suivant des lois de Pareto. Nous montrons que le système de particules, renormalisé d’une façon idoine, converge en loi vers une limite d’échelle intéressante en elle-même. Nous décrivons l’objet limite comme une collection croissante de « nénuphars » construits à partir d’un processus de Poisson dans $\mathbb{R}^{d}$. Comme application de notre théorème principal, nous montrons que le maximiseur du système possède la propriété de vieillissement.

We show that the Markov semigroups generated by a large class of singular stochastic PDEs satisfy the strong Feller property. These include for example the KPZ equation and the dynamical $\Phi^{4}_{3}$ model. As a corollary, we prove that the Brownian bridge measure is the unique invariant measure for the KPZ equation with periodic boundary conditions.

Nous montrons que les semi-groupes de Markov engendrés par une classe large d’EDPs stochastiques singulières satisfont la propriété forte de Feller. Cette classe inclut par exemple l’équation KPZ et le modèle $\Phi^{4}_{3}$. Nous montrons comme corollaire que la distribution du pont Brownien est l’unique mesure invariante pour l’équation KPZ avec conditions frontières périodiques.

We study a biased random walk on the interlacement set of $\mathbb{Z}^{d}$ for $d\geq3$. Although the walk is always transient, we can show, in the case $d=3$, that for any value of the bias the walk has a zero limiting speed and actually moves slower than any power.

Nous étudions la marche biaisée sur un entrelac aléatoire de $\mathbb{Z}^{d}$ avec $d\geq3$. Nous montrons que la marche est transiente mais que, dans le cas $d=3$, elle est sous-ballistique pour toutes les valeurs du biais et que ses déplacements sont inférieurs à n’importe quel polynôme.

We construct a four parameter $z,z',a,b$ family of Markov dynamics that preserve the $z$-measures on the boundary of the branching graph for classical Lie groups of type $B,C,D$. Our guiding principle is the “method of intertwiners” used previously in [J. Funct. Anal. 263 (2012) 248–303] to construct Markov processes that preserve the $zw$-measures.

Nous construisons une famille à quatre paramètres, $z,z',a,b$, de dynamiques de Markov qui préservent les $z$-mesures sur la frontière du graphe branchant pour les groupes de Lie classiques du type $B,C,D$. L’idée maîtresse est la « méthode des entrelacements » utilisée précédemment dans [J. Funct. Anal. 263 (2012) 248–303] pour construire un processus de Markov qui préserve les $zw$-mesures.

Burdzy and Chen (Electron. J. Probab. 3 (1998) 29–33) proved results on weak convergence of multidimensional normally reflected Brownian motions. We generalize their work by considering obliquely reflected diffusion processes. We require weak convergence of domains, which is stronger than convergence in Wijsman topology, but weaker than convergence in Hausdorff topology.

Burdzy et Chen (Electron. J. Probab. 3 (1998) 29–33) ont montré des résultats portant sur la convergence faible des mouvements Browniens multidimensionnels avec réflexion normale. Nous généralisons leurs travaux dans le cas de processus de diffusion avec réflexion oblique. Notre résultat requiert la faible convergence des domaines. Notons que cette convergence est plus forte que la convergence dans la topologie de Wijsman, mais plus faible que celle de la topologie de Hausdorff.

Conditions on the generator of a Markov process to control the fluctuations of its bridges are found. In particular, continuous time random walks on graphs and gradient diffusions are considered. Under these conditions, a concentration of measure inequality for the marginals of the bridge of a gradient diffusion and refined large deviation expansions for the tails of a random walk on a graph are derived. In contrast with the existing literature about bridges, all the estimates we obtain hold for non asymptotic time scales. New concentration of measure inequalities for pinned Poisson random vectors are also established. The quantities expressing our conditions are the so called reciprocal characteristics associated with the Markov generator.

Dans cet article nous exhibons des conditions sur le générateur d’un processus de Markov qui nous permettent de quantifier les fluctuations de ses ponts. Nous nous intéressons plus précisément aux marches aléatoires sur les graphes et aux diffusions de type gradient. Nous démontrons une inégalité de concentration pour la loi marginale du pont d’une diffusion gradient ainsi qu’un principe de grandes déviations pour les queues d’une marche aléatoire sur un graphe. L’originalité de nos résultats réside dans le fait qu’ils sont valables pour toute échelle de temps, tandis que ceux qui préexistent dans la litérature sont uniquement asymptotiques. Nous établissons aussi des inégalités de concentration pour des vecteurs aléatoires poissoniens conditionnés. Les paramètres, dérivés des processus markoviens, qui interviennent dans les conditions mises en évidence, sont leurs invariants réciproques.

In this paper we aim at employing a compactness criterion of Da Prato, Malliavin, Nualart (C. R. Math. Acad. Sci. Paris 315 (1992) 1287–1291) for square integrable Brownian functionals to construct strong solutions of SDE’s under an integrability condition on the drift coefficient. The obtained solutions turn out to be Malliavin differentiable and are used to derive a Bismut–Elworthy–Li formula for solutions of the Kolmogorov equation. We emphasise that our approach exhibits high flexibility to study a variety of other types of stochastic (partial) differential equations as e.g. stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion.

Dans cet article, nous cherchons à utiliser un critère de compacité de Da Prato, Malliavin, Nualart pour les fonctionnelles browniennes de carré intégrable pour construire des solutions fortes d’EDS sous une condition d’intégrabilité sur le coefficient de dérive. Les solutions obtenues se révèlent être Malliavin-différentiables et sont utilisées pour dériver une formule Bismut–Elworthy–Li pour des solutions de l’équation de Kolmogorov. Nous soulignons que notre approche présente une grande souplesse pour étudier une variété d’autres types d’équations différentielles stochastiques (aux dérivées partielles) comme par exemple des équations différentielles stochastiques conduites par un mouvement brownien fractionnaire.

This work aims to extend the existing results on thick points of logarithmic-correlated Gaussian Free Fields to Gaussian random fields that are more singular. To be specific, we adopt a sphere averaging regularization to study polynomial-correlated Gaussian Free Fields in higher-than-two dimensions. Under this setting, we introduce the definition of thick points which, heuristically speaking, are points where the value of the Gaussian Free Field is unusually large. We then establish a result on the Hausdorff dimension of the sets containing thick points.

Cet article a pour but d’étendre certains résultats existants sur les points épais de champs libres gaussiens a corrélation logarithmique, à des champs aléatoires gaussiens qui sont plus singuliers. Plus précisément, nous utilisons une moyenne sphérique pour étudier les champs libres gaussiens a corrélation polynomiale en dimension supérieure à 2. Dans ce contexte nous introduisons une définition des points épais qui, de manière heuristique, sont les points pour lesquels la valeur du champ libre gaussien est inhabituellement grande. Nous établissons un résultat sur la dimension de Hausdorff des ensembles contenant ces points épais.

We consider the number of blocks involved in the last merger of a $\Lambda$-coalescent started with $n$ blocks. We give conditions under which, as $n\to\infty$, the sequence of these random variables (a) is tight, (b) converges in distribution to a finite random variable or (c) converges to infinity in probability. Our conditions are optimal for $\Lambda$-coalescents that have a dust component. For general $\Lambda$, we relate the three cases to the existence, uniqueness and non-existence of invariant measures for the dynamics of the block-counting process, and in case (b) investigate the time-reversal of the block-counting process back from the time of the last merger.

Nous considérons le nombre de blocs impliqués dans le dernier regroupement d’un $\Lambda$-coalescent issu de $n$ blocs. Nous donnons des conditions sous lesquelles, quand $n$ tend vers l’infini, la suite de variables aléatoires (a) est tendue (b) converge en loi vers une variable aléatoire finie ou (c) converge vers l’infini en probabilité. Nos conditions sont optimales pour les $\Lambda$-coalescents qui ont une composante de poussière. Pour un $\Lambda$ général, nous associons ces trois cas à l’existence, l’unicité et la non-existence d’une mesure invariante pour la dynamique du processus de comptage des blocs. Dans le cas (b), nous étudions le retourné en temps du processus de comptage des blocs depuis de le temps de dernier regroupement.

We study the optimal discretization error of stochastic integrals, driven by a multidimensional continuous Brownian semimartingale. In this setting we establish a pathwise lower bound for the renormalized quadratic variation of the error and we provide a sequence of discretization stopping times, which is asymptotically optimal. The latter is defined as hitting times of random ellipsoids by the semimartingale at hand. In comparison with previous available results, we allow a quite large class of semimartingales (relaxing in particular the non degeneracy conditions usually requested) and we prove that the asymptotic lower bound is attainable.

Nous étudions l’erreur de discrétisation optimale d’intégrale stochastique, dirigée par une semimartingale brownienne continue multidimensionnelle. Dans ce cadre, nous déterminons une borne inférieure trajectorielle pour la variation quadratique de l’erreur renormalisée et nous fournissons une suite de temps d’arrêt de discrétisation, suite qui est asymptotiquement optimale. Cette dernière est définie explicitement à partir des temps d’atteinte d’ellipsoïdes aléatoires par la semimartingale sous-jacente. En comparaison avec les précédents résultats, nous considérons une très grande classe de semimartingales (relâchant en particulier les conditions de non dégénérescence qui étaient habituellement requises) et nous prouvons que la borne inférieure asymptotique est atteignable.

The estimation of the diffusion matrix $\Sigma$ of a high-dimensional, possibly time-changed Lévy process is studied, based on discrete observations of the process with a fixed distance. A low-rank condition is imposed on $\Sigma$. Applying a spectral approach, we construct a weighted least-squares estimator with nuclear-norm-penalisation. We prove oracle inequalities and derive convergence rates for the diffusion matrix estimator. The convergence rates show a surprising dependency on the rank of $\Sigma$ and are optimal in the minimax sense for fixed dimensions. Theoretical results are illustrated by a simulation study.

Nous étudions le problème de l’estimation de la matrice de diffusion $\Sigma$ d’un processus de Lévy en grande dimension, qui peut être changé de temps, en se basant sur des observations discrètes du processus à une distance fixée. Nous imposons une condition de faible rang sur $\Sigma$. À l’aide d’une méthode spectrale, nous construisons un estimateur pondéré des moindres carrés avec une pénalisation par une norme nucléaire. Nous prouvons des inégalités oracle et obtenons des vitesses de convergence pour l’estimateur de la matrice de diffusion. Nous constatons que ces vitesses dépendent du rang de $\Sigma$ d’une façon surprenante, et qu’elles sont optimales au sens minimax pour une dimension fixée. Ces résultats théoriques sont illustrés par une étude de simulations.

Consider the supercritical branching random walk on the real line in the boundary case and the associated Gibbs measure $\nu_{n,\beta}$ on the $n$th generation, which is also the polymer measure on a disordered tree with inverse temperature $\beta$. The convergence of the partition function $W_{n,\beta}$, after rescaling, towards a nontrivial limit has been proved by Aïdékon and Shi (Ann. Probab. 42 (3) (2014) 959–993) in the critical case $\beta=1$ and by Madaule (J. Theoret. Probab. 30 (1) (2017) 27–63) when $\beta>1$. We study here the near-critical case, where $\beta_{n}\to1$, and prove the convergence of $W_{n,\beta_{n}}$, after rescaling, towards a constant multiple of the limit of the derivative martingale. Moreover, trajectories of particles chosen according to the Gibbs measure $\nu_{n,\beta}$ have been studied by Madaule (Stochastic Process. Appl. 126 (2) (2016) 470–502) in the critical case, with convergence towards the Brownian meander, and by Chen, Madaule and Mallein (On the trajectory of an individual chosen according to supercritical gibbs measure in the branching random walk (2015) Preprint) in the strong disorder regime, with convergence towards the normalized Brownian excursion. We prove here the convergence for trajectories of particles chosen according to the near-critical Gibbs measure and display continuous families of processes from the meander to the excursion or to the Brownian motion.

Considérons une marche aléatoire branchante surcritique réelle dans le cas frontière et la mesure de Gibbs associée $\nu_{n,\beta}$ sur la $n$-ième génération, qui est aussi la mesure de polymère sur un arbre désordonné avec température inverse $\beta$. La convergence de la fonction de partition $W_{n,\beta}$, après renormalisation, vers une limite non-triviale a été démontrée par Aïdékon et Shi (Ann. Probab. 42 (3) (2014) 959–993) dans le cas critique $\beta=1$ et par Madaule (J. Theoret. Probab. 30 (1) (2017) 27–63) pour $\beta>1$. On s’intéresse ici au cas presque-critique, où $\beta_{n}\to1$, et on montre la convergence de $W_{n,\beta_{n}}$, après renormalisation, vers la limite de la martingale dérivée à un facteur multiplicatif près. D’autre part, les trajectoires de particules tirées selon la mesure de Gibbs $\nu_{n,\beta}$ ont été étudiées par Madaule (Stochastic Process. Appl. 126 (2) (2016) 470–502) dans le cas critique, avec convergence vers le méandre brownien, et par Chen, Madaule et Mallein (On the trajectory of an individual chosen according to supercritical gibbs measure in the branching random walk (2015) Preprint) dans le régime de désordre fort, avec convergence vers l’excursion brownienne. On montre ici la convergence des trajectoires de particules tirées selon la mesure de Gibbs presque-critique et cela fait apparaître une famille continue de processus allant du méandre jusqu’à l’excursion ou jusqu’au mouvement brownien.

We study an weak transport cost related to the notion of convex order between probability measures. On the real line, we show that this weak transport cost is reached for a coupling that does not depend on the underlying cost function. As an application, we give a necessary and sufficient condition for weak transport-entropy inequalities (related to concentration of convex/concave functions) to hold on the line. In particular, we obtain a weak transport-entropy form of the convex Poincaré inequality in dimension one.

Dans cet article, nous étudions une nouvelle famille de coûts de transport optimaux faibles en lien avec la notion d’ordre convexe pour les mesures de probabilité. Nous montrons, en dimension un, que le couplage optimal ne dépend pas de la fonction de coût choisie. Nous utilisons ensuite ce résultat pour établir une condition nécessaire et suffisante pour les inégalités de transport-entropie associées à ces coûts de transport faibles. En particulier, nous obtenons une forme transport équivalente de l’inégalité de Poincaré restreinte aux fonctions convexes sur la droite.

Our purpose is to pursue the rigorous construction of Liouville Quantum Field Theory on Riemann surfaces initiated by F. David, A. Kupiainen and the last two authors in the context of the Riemann sphere and inspired by the 1981 seminal work by Polyakov. In this paper, we investigate the case of simply connected domains with boundary. We also make precise conjectures about the relationship of this theory to scaling limits of random planar maps with boundary conformally embedded onto the disk.

Notre but est d’étendre la construction rigoureuse de la Théorie Quantique des Champs de Liouville sur les surfaces de Riemann, initiée par F. David, A. Kupiainen et les deux derniers auteurs dans le contexte de la sphère de Riemann et inspirée par le travail pionnier de Polyakov en 1981. Dans ce papier nous étudions la théorie dans le cas de domaines simplement connexes à bord. Nous formulons également des conjectures précises sur la relation entre cette théorie et les limites d’échelle des grandes cartes planaires aléatoires à bord conformément plongées dans le disque unité.

We consider a Hamiltonian lattice field model with two conserved quantities, energy and volume, perturbed by stochastic noise preserving the two previous quantities. It is known that this model displays anomalous diffusion of energy of fractional type due to the conservation of the volume (Nonlinearity 25 (4) (2012) 1099–1133; Arch. Ration. Mech. Anal. 220 (2) (2016) 505–542). We superpose to this system a second stochastic noise conserving energy but not volume. If the intensity of this noise is of order one, normal diffusion of energy is restored while it is without effect if intensity is sufficiently small. In this paper we investigate the nature of the energy fluctuations for a critical value of the intensity. We show that the latter are described by an Ornstein–Uhlenbeck process driven by a Lévy process which interpolates between Brownian motion and the maximally asymmetric $3/2$-stable Lévy process. This result extends and solves a problem left open in (J. Stat. Phys. 159 (6) (2015) 1327–1368).

Nous considérons un modèle de champs sur réseau Hamiltonien avec deux quantités conservées, l’énergie et le volume, perturbé par un bruit stochastique conservant les deux quantités précédentes. Il est connu que ce modèle produit une diffusion anormale de l’énergie de type fractionnaire en raison de la conservation du volume (Nonlinearity 25 (4) (2012) 1099–1133; Arch. Ration. Mech. Anal. 220 (2) (2016) 505–542). Nous superposons à cette dynamique un second bruit stochastique conservant l’énergie mais pas le volume. Si l’intensité de ce bruit est d’ordre 1, la diffusion normale de l’énergie est restaurée tandis qu’elle est sans effet si l’intensité est suffisamment faible. Dans ce papier nous étudions la nature des fluctuations d’énergie pour une valeur critique de l’intensité. Nous montrons que ces dernières sont décrites par un processus d’Ornstein–Uhlenbeck dirigé par un processus de Lévy qui interpole entre le mouvement Brownien et le processus de Lévy stable 3/2 totalement asymétrique. Ce résultat étend et résout un problème laissé ouvert dans (J. Stat. Phys. 159 (6) (2015) 1327–1368).