Fluctuations of bridges, reciprocal characteristics and concentration of measure

Abstract

Conditions on the generator of a Markov process to control the fluctuations of its bridges are found. In particular, continuous time random walks on graphs and gradient diffusions are considered. Under these conditions, a concentration of measure inequality for the marginals of the bridge of a gradient diffusion and refined large deviation expansions for the tails of a random walk on a graph are derived. In contrast with the existing literature about bridges, all the estimates we obtain hold for non asymptotic time scales. New concentration of measure inequalities for pinned Poisson random vectors are also established. The quantities expressing our conditions are the so called reciprocal characteristics associated with the Markov generator.

Dans cet article nous exhibons des conditions sur le générateur d’un processus de Markov qui nous permettent de quantifier les fluctuations de ses ponts. Nous nous intéressons plus précisément aux marches aléatoires sur les graphes et aux diffusions de type gradient. Nous démontrons une inégalité de concentration pour la loi marginale du pont d’une diffusion gradient ainsi qu’un principe de grandes déviations pour les queues d’une marche aléatoire sur un graphe. L’originalité de nos résultats réside dans le fait qu’ils sont valables pour toute échelle de temps, tandis que ceux qui préexistent dans la litérature sont uniquement asymptotiques. Nous établissons aussi des inégalités de concentration pour des vecteurs aléatoires poissoniens conditionnés. Les paramètres, dérivés des processus markoviens, qui interviennent dans les conditions mises en évidence, sont leurs invariants réciproques.