Interpolation process between standard diffusion and fractional diffusion

Abstract

We consider a Hamiltonian lattice field model with two conserved quantities, energy and volume, perturbed by stochastic noise preserving the two previous quantities. It is known that this model displays anomalous diffusion of energy of fractional type due to the conservation of the volume (Nonlinearity 25 (4) (2012) 1099–1133; Arch. Ration. Mech. Anal. 220 (2) (2016) 505–542). We superpose to this system a second stochastic noise conserving energy but not volume. If the intensity of this noise is of order one, normal diffusion of energy is restored while it is without effect if intensity is sufficiently small. In this paper we investigate the nature of the energy fluctuations for a critical value of the intensity. We show that the latter are described by an Ornstein–Uhlenbeck process driven by a Lévy process which interpolates between Brownian motion and the maximally asymmetric $3/2$-stable Lévy process. This result extends and solves a problem left open in (J. Stat. Phys. 159 (6) (2015) 1327–1368).

Nous considérons un modèle de champs sur réseau Hamiltonien avec deux quantités conservées, l’énergie et le volume, perturbé par un bruit stochastique conservant les deux quantités précédentes. Il est connu que ce modèle produit une diffusion anormale de l’énergie de type fractionnaire en raison de la conservation du volume (Nonlinearity 25 (4) (2012) 1099–1133; Arch. Ration. Mech. Anal. 220 (2) (2016) 505–542). Nous superposons à cette dynamique un second bruit stochastique conservant l’énergie mais pas le volume. Si l’intensité de ce bruit est d’ordre 1, la diffusion normale de l’énergie est restaurée tandis qu’elle est sans effet si l’intensité est suffisamment faible. Dans ce papier nous étudions la nature des fluctuations d’énergie pour une valeur critique de l’intensité. Nous montrons que ces dernières sont décrites par un processus d’Ornstein–Uhlenbeck dirigé par un processus de Lévy qui interpole entre le mouvement Brownien et le processus de Lévy stable 3/2 totalement asymétrique. Ce résultat étend et résout un problème laissé ouvert dans (J. Stat. Phys. 159 (6) (2015) 1327–1368).