Scaling limit and ageing for branching random walk in Pareto environment

Abstract

We consider a branching random walk on the lattice, where the branching rates are given by an i.i.d. Pareto random potential. We show that the system of particles, rescaled in an appropriate way, converges in distribution to a scaling limit that is interesting in its own right. We describe the limit object as a growing collection of “lilypads” built on a Poisson point process in $\mathbb{R}^{d}$. As an application of our main theorem, we show that the maximizer of the system displays the ageing property.

Nous considérons une marche aléatoire branchante sur un réseau, où les taux de branchement sont donnés par un potentiel aléatoire i.i.d. suivant des lois de Pareto. Nous montrons que le système de particules, renormalisé d’une façon idoine, converge en loi vers une limite d’échelle intéressante en elle-même. Nous décrivons l’objet limite comme une collection croissante de « nénuphars » construits à partir d’un processus de Poisson dans $\mathbb{R}^{d}$. Comme application de notre théorème principal, nous montrons que le maximiseur du système possède la propriété de vieillissement.