We give an elementary proof that Talagrand’s sub-Gaussian concentration inequality implies a limit shape theorem for first passage percolation on any Cayley graph of $\mathbb{Z}^{d}$, with a speed of convergence $\lesssim (\frac{\log n}{n})^{1/2}$. Our approach, which does not use the subadditive theorem, is based on proving that the average distance $\mathbb{E}d_{\omega}$ on $\mathbb{Z}^{d}$ is close to being geodesic. Our key observation, of independent interest, is that the problem of estimating the rate of convergence for the average distance is equivalent (in a precise sense) to estimating its “level of geodesicity”.

Nous démontrons de manière élémentaire que l’inégalité de concentration sous-Gaussienne de Talagrand implique le théorème de forme limite en percolation de premier passage sur un graphe de Cayley quelconque de $\mathbb{Z}^{d}$, avec un terme d’erreur $\lesssim (\frac{\log n}{n})^{1/2}$. Au lieu de nous baser sur le théorème sous-additif comme dans les approches classiques, notre preuve repose sur le fait de montrer que la distance moyenne est en un sens quantitatif, presque géodésique. Notre observation centrale, qui présente un intérêt indépendant, est que le problème d’estimer la vitesse de convergence de la distance moyenne vers la norme limite est équivalent (en un sens précis) à celui d’estimer son «niveau de géodécisité. »

The extremal index is an important parameter in the characterization of extreme values of a stationary sequence. Our new estimation approach for this parameter is based on the extremal behavior under the local dependence condition D$^{(k)}$($u_{n}$). We compare a process satisfying one of this hierarchy of increasingly weaker local mixing conditions with a process of cycles satisfying the D$^{(2)}$($u_{n}$) condition. We also analyze local dependence within moving maxima processes and derive a necessary and sufficient condition for D$^{(k)}$($u_{n}$). In order to evaluate the performance of the proposed estimators, we apply an empirical diagnostic for local dependence conditions, we conduct a simulation study and compare with existing methods. An application to a financial time series is also presented.

L’indice extrémal est un paramètre important pour la caractérisation des valeurs extrêmes d’une séquence stationnaire. Notre nouvelle approche d’estimation de ce paramètre est basée sur le comportement extrême sous la condition de dépendance locale D$^{(k)}$($u_{n}$). Nous comparons un processus satisfaisant une des conditions dans la famille hiérarchique des conditions de mélange local avec un processus de cycles satisfaisant la condition D$^{(2)}$($u_{n}$). Nous analysons aussi la dépendance locale à l’intérieur du processus des maxima mobiles et établissons une condition nécessaire et suffisante pour D$^{(k)}$($u_{n}$). Dans le but d’estimer les performances des estimateurs proposés, nous appliquons un diagnostique empirique des dépendances locales, nous conduisons une étude par simulation et comparons avec les méthodes existantes. Une application aux séries temporelles financières est aussi présentée.

Suppose that $d\ge1$ and $0<\beta<\alpha<2$. We establish the existence and uniqueness of the fundamental solution $q^{b}(t,x,y)$ to a class of (typically non-symmetric) non-local operators $\mathcal{L}^{b}=\Delta^{\alpha/2}+\mathcal{S}^{b}$, where

\[\mathcal{S}^{b}f(x):=\mathcal{A}(d,-\beta)\int_{\mathbb{R}^{d}}(f(x+z)-f(x)-\nabla f(x)\cdot z\mathbb{1}_{\{|z|\leq1\}})\frac{b(x,z)}{|z|^{d+\beta}}\,dz\] and $b(x,z)$ is a bounded measurable function on $\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}$ with $b(x,z)=b(x,-z)$ for $x,z\in\mathbb{R}^{d}$. Here $\mathcal{A}(d,-\beta)$ is a normalizing constant so that $\mathcal{S}^{b}=\Delta^{\beta/2}$ when $b(x,z)\equiv1$. We show that if $b(x,z)\geq-\frac{\mathcal{A}(d,-\alpha)}{\mathcal{A}(d,-\beta)}|z|^{\beta-\alpha}$, then $q^{b}(t,x,y)$ is a strictly positive continuous function and it uniquely determines a conservative Feller process $X^{b}$, which has strong Feller property. The Feller process $X^{b}$ is the unique solution to the martingale problem of $(\mathcal{L}^{b},\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d}))$, where $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d})$ denotes the space of tempered functions on $\mathbb{R}^{d}$. Furthermore, sharp two-sided estimates on $q^{b}(t,x,y)$ are derived. In stark contrast with the gradient perturbations, these estimates exhibit different behaviors for different types of $b(x,z)$. The model considered in this paper contains the following as a special case. Let $Y$ and $Z$ be (rotationally) symmetric $\alpha$-stable process and symmetric $\beta$-stable processes on $\mathbb{R}^{d}$, respectively, that are independent to each other. Solution to stochastic differential equations $dX_{t}=dY_{t}+c(X_{t-})\,dZ_{t}$ has infinitesimal generator $\mathcal{L}^{b}$ with $b(x,z)=|c(x)|^{\beta}$.

Supposons que $d\ge1$ et $0<\beta<\alpha<2$. Nous établissons l’existence et l’unicité de la solution fondamentale $q^{b}(t,x,y)$ pour une classe d’opérateurs non locaux (typiquement non symétriques) $\mathcal{L}^{b}=\Delta^{\alpha/2}+\mathcal{S}^{b}$, où

\[\mathcal{S}^{b}f(x):=\mathcal{A}(d,-\beta)\int_{\mathbb{R}^{d}}(f(x+z)-f(x)-\nabla f(x)\cdot z\mathbb{1}_{\{|z|\leq1\}})\frac{b(x,z)}{|z|^{d+\beta}}\,dz\] et $b(x,z)$ est une fonction mesurable bornée sur $\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}$ telle que $b(x,z)=b(x,-z)$ pour $x,z\in\mathbb{R}^{d}$. Ici $\mathcal{A}(d,-\beta)$ est la constante de normalisation telle que $\mathcal{S}^{b}=\Delta^{\beta/2}$ quand $b(x,z)\equiv1$. Nous montrons que si $b(x,z)\geq-\frac{\mathcal{A}(d,-\alpha)}{\mathcal{A}(d,-\beta)}|z|^{\beta-\alpha}$, alors $q^{b}(t,x,y)$ est une fonction continue strictement positive qui détermine uniquement un processus de Feller conservatif $X^{b}$, satisfaisant la propriété forte de Feller. Le processus de Feller $X^{b}$ est l’unique solution du problème martingale $(\mathcal{L}^{b},\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d}))$, où $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d})$ est l’espace des fonctions tempérées sur $\mathbb{R}^{d}$. De plus, des estimées précises supérieures et inférieures sur $q^{b}(t,x,y)$ sont obtenues. En opposition radicale avec le cas des perturbations gradients, ces estimées montrent des comportements différents pour différents types de $b(x,z)$. Le modèle considéré dans l’article contient le modèle suivant comme cas particulier. Soient $Y$ et $Z$ des processus indépendants $\alpha$-stable, resp. $\beta$-stable, sur $\mathbb{R}^{d}$, symétriques par rotation. La solution de l’équation différentielle stochastique $dX_{t}=dY_{t}+c(X_{t-})\,dZ_{t}$ a $\mathcal{L}^{b}$ pour générateur infinitésimal avec $b(x,z)=|c(x)|^{\beta}$.

In this paper we consider a probability distribution $\mathbb{P}^{q,t}_{\mathrm{HL}}$ on plane partitions, which arises as a one-parameter generalization of the standard $q^{\mathrm{volume}}$ measure. This generalization is closely related to the classical multivariate Hall–Littlewood polynomials, and it was first introduced by Vuletić in (Trans. Am. Math. Soc. 361 (2009) 2789–2804).

We prove that as the plane partitions become large ($q$ goes to $1$, while the Hall–Littlewood parameter $t$ is fixed), the scaled bottom slice of the random plane partition converges to a deterministic limit shape, and that one-point fluctuations around the limit shape are asymptotically given by the GUE Tracy–Widom distribution. On the other hand, if $t$ simultaneously converges to its own critical value of $1$, the fluctuations instead converge to the one-dimensional Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation with the so-called narrow wedge initial data.

The algebraic part of our arguments is closely related to the formalism of Macdonald processes (Probab. Theory Relat. Fields 158 (1) (2014) 225–400). The analytic part consists of detailed asymptotic analysis of the arising Fredholm determinants.

Dans cet article, nous considérons une distribution de probabilité $\mathbb{P}^{q,t}_{\mathrm{HL}}$ sur les partitions planes, qui apparaît comme une généralisation à un paramètre de la mesure standard $q^{\mathrm{volume}}$. Cette généralisation est étroitement reliée aux classiques polynômes multivariés de Hall–Littlewood, et a été introduite pour la première fois par Vuletić dans (Trans. Am. Math. Soc. 361 (2009) 2789–2804).

Nous montrons que lorsque la partition plane devient grande ($q$ tend vers $1$, alors que le paramètre de Hall–Littlewood $t$ est fixé), la partie inférieure proprement renormalisée de la partition plane converge vers une forme limite déterministe, et que les fluctuations à un point autour de la forme limite sont asymptotiquement données par la distribution du GUE Tracy–Widom. Par contre, si $t$ converge vers sa propre valeur critique $1$, les fluctuations convergent cette fois vers l’équation unidimensionnelle de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) avec les conditions initiales à courte bande (narrow wedge data).

La partie algébrique de notre argument est étroitement reliée au formalisme des processus de Macdonald (Probab. Theory Relat. Fields 158 (1) (2014) 225–400). La partie analytique consiste en une analyse asymptotique détaillée des déterminants de Fredholm associés.

A result of A.M. Davie (Int. Math. Res. Not. 24 (2007) rnm124) states that a multidimensional stochastic equation $dX_{t}=b(t,X_{t})\,dt+dW_{t}$, $X_{0}=x$, driven by a Wiener process $W=(W_{t})$ with a coefficient $b$ which is only bounded and measurable has a unique solution for almost all choices of the driving Wiener path. We consider a similar problem when $W$ is replaced by a Lévy process $L=(L_{t})$ and $b$ is $\beta$-Hölder continuous in the space variable, $\beta\in(0,1)$. We assume that $L_{1}$ has a finite moment of order $\theta$, for some ${\theta}>0$. Using a new càdlàg regularity result for strong solutions, we prove that strong existence and uniqueness for the SDE together with $L^{p}$-Lipschitz continuity of the strong solution with respect to $x$ imply a Davie’s type uniqueness result for almost all choices of the Lévy path. We apply this result to a class of SDEs driven by non-degenerate $\alpha$-stable Lévy processes, $\alpha\in(0,2)$ and $\beta>1-\alpha/2$.

Un résultat de A.M. Davie (Int. Math. Res. Not. 24 (2007) rnm124) établit qu’une équation stochastique multi-dimensionnelle $dX_{t}=b(t,X_{t})\,dt+dW_{t}$, $X_{0}=x$, dirigée par un processus de Wiener $W=(W_{t})$ avec un coefficient $b$ qui est seulement borné et mesurable admet une unique solution pour presque tout choix de la trajectoire du processus $W$ la dirigeant. Nous considérons un problème similaire lorsque $W$ est remplacé par un processus de Lévy $L=(L_{t})$ et $b$ est $\beta$-Hölder continu en espace. Nous supposons que $L_{1}$ a un moment fini d’ordre $\theta$ pour un certain $\theta>0$. En utilisant un nouveau résultat de régularité càdlàg, nous prouvons que l’existence et unicité forte pour l’EDS, associées à une $L^{p}$-Lipschitz continuité de la solution forte par rapport à $x$, impliquent une unicité de type Davie pour presque tout choix de la trajectoire de Lévy. Nous appliquons ce résultat à une classe d’EDS dirigées par un processus de Lévy $\alpha$-stable non dégénéré pour $\alpha\in(0,2)$ et $\beta>1-\alpha/2$.

We construct planar semimartingales that include the Walsh Brownian motion as a special case, and derive Harrison–Shepp-type equations and a change-of-variable formula in the spirit of Freidlin–Sheu for these so-called “Walsh semimartingales”. We examine the solvability of the resulting system of stochastic integral equations. In appropriate Markovian settings we study two types of connections to martingale problems, questions of uniqueness in distribution for such processes, and a few examples.

Nous construisons des semimartingales planaires qui incluent le mouvement brownien de Walsh comme cas particulier, et nous établissons pour ces « semimartingales de Walsh » des équations de type Harrison–Shepp, et une formule de changement de variable dans l’esprit de Freidlin–Sheu. Dans des cadres markoviens appropriés, nous étudions deux types de relations aux problèmes de martingale, des questions d’unicité en loi pour de tels processus, et quelques exemples.

This paper deals with the stochastic Ising model with a temperature shrinking to zero as time goes to infinity. A generalization of the Glauber dynamics is considered, on the basis of the existence of simultaneous flips of some spins. Such dynamics act on a wide class of graphs which are periodic and embedded in $\mathbb{R}^{d}$. The interactions between couples of spins are assumed to be quenched i.i.d. random variables following a Bernoulli distribution with support $\{-1,+1\}$. The specific problem here analyzed concerns the assessment of how often (finitely or infinitely many times, almost surely) a given spin flips. Adopting the classification proposed in (Comm. Math. Phys. 214 (2002) 373–387), we present conditions in order to have models of type $\mathcal{F}$ (any spin flips finitely many times), $\mathcal{I}$ (any spin flips infinitely many times) and $\mathcal{M}$ (a mixed case). Several examples are provided in all dimensions and for different cases of graphs. The most part of the obtained results holds true for the case of zero-temperature and some of them for the cubic lattice $\mathbb{L}_{d}=(\mathbb{Z}^{d},\mathbb{E}_{d})$ as well.

Cet article est dedié au modèle d’Ising stochastique avec une température decroissante à zéro avec le temps. Une généralisation de la dynamique de Glauber est considérée, basée sur des inversions simultanées des ensembles de spins. La dynamique est considerée sur une large classe de graphes qui sont périodiques et plongés dans un espace euclidien. Les interactions entre les couples de spins sont supposées être des variables aléatoires i.i.d. qui suivent une loi de Bernoulli avec support $\{-1,+1\}$. Le problème particulier analysé ici concerne l’évaluation du nombre d’inversions d’un spin donné (fini ou infini, presque sûrement). En adoptant la classification proposée dans (Comm. Math. Phys. 214 (2002) 373–387), nous présentons des conditions pour des modèles de type $\mathcal{F}$ (tout les spins sont sujets à un nombre fini d’inversions), $\mathcal{I}$ (tout les spins sont sujets à un nombre infini d’inversions) et $\mathcal{M}$ (le cas mixte). Plusieurs exemples sont fournis en toutes dimensions et pour plusieurs graphes. La partie majeure des résultats reste vraie à température zéro et certains des résultats sont vrais pour le réseau cubique en dimension $d$ quelconque.

We study stochastic particle systems that conserve the particle density and exhibit a condensation transition due to particle interactions. We restrict our analysis to spatially homogeneous systems on fixed finite lattices with stationary product measures, which includes previously studied zero-range or misanthrope processes. All known examples of such condensing processes are non-monotone, i.e. the dynamics do not preserve a partial ordering of the state space and the canonical measures (with a fixed number of particles) are not monotonically ordered. For our main result we prove that condensing homogeneous particle systems with finite critical density are necessarily non-monotone. On fixed finite lattices condensation can occur even when the critical density is infinite, in this case we give an example of a condensing process that numerical evidence suggests is monotone, and give a partial proof of its monotonicity.

Nous étudions un système de particules aléatoires qui conserve la densité et fait apparaître un phénomène de condensation en raison des interactions entre particules. Nous restreignons notre analyse au cas des systèmes homogènes en espace sur un réseau fini avec mesure stationnaire produit, ce qui inclut les cas étudiés précédemment du processus « zero-range » et du processus misanthrope. Tous les exemples connus qui montrent un phénomène de condensation sont non-monotones, c’est-à-dire que la dynamique ne préserve aucun ordre partiel sur l’espace d’états et les mesures canoniques (avec un nombre fixe de particules) ne sont pas ordonnées. Notre résultat principal montre que tout système de particules homogène avec densité critique finie qui montre un phénomène de condensation est nécessairement non monotone. Sur un réseau fini, la condensation peut apparaître même quand la densité critique est finie, dans ce cas nous donnons un exemple d’un processus avec condensation dont une étude numérique montre la monotonie, et nous donnons une preuve partielle de cette monotonie.

A representation of the degrees of freedom akin to Stein’s lemma is given for a class of estimators of a mean value parameter in $\mathbb{R}^{n}$. Contrary to previous results our representation holds for a range of discontinues estimators. It shows that even though the discontinuities form a Lebesgue null set, they cannot be ignored when computing degrees of freedom. Estimators with discontinuities arise naturally in regression if data driven variable selection is used. Two such examples, namely best subset selection and lasso-OLS, are considered in detail in this paper. For lasso-OLS the general representation leads to an estimate of the degrees of freedom based on the lasso solution path, which in turn can be used for estimating the risk of lasso-OLS. A similar estimate is proposed for best subset selection. The usefulness of the risk estimates for selecting the number of variables is demonstrated via simulations with a particular focus on lasso-OLS.

Une représentation des degrés de liberté comparable au lemme de Stein est donnée pour une classe d’estimateurs du paramètre de la moyenne dans $\mathbb{R}^{n}$. Contrairement aux résultats précédents, notre représentation est valable pour une famille d’estimateurs discontinus. Cela montre que même si les discontinuités sont de mesure de Lebesgue zéro, elles ne peuvent pas être ignorées lors du calcul des degrés de liberté. Les estimateurs avec discontinuités apparaissent naturellement dans les modèles de régression si de la sélection de variables par les données est utilisée. Deux tels exemples, la sélection du meilleur sous-ensemble et le lasso-OLS, sont considérés en détail dans l’article. Pour le Lasso-OLS, la représentation générale mène à une estimation des degrés de liberté basée sur le chemin de la solution Lasso, qui à son tour peut être utilisée pour estimer le risque du lasso-OLS. Une estimation similaire est proposée pour la sélection du meilleur sous-ensemble. L’utilité des estimées de risque pour le choix du nombre de variables est démontrée par des simulations qui se concentrent en particulier sur lasso-OLS.

Let $(X_{1},\ldots,X_{n})$ be a $d$-dimensional i.i.d. sample from a distribution with density $f$. The problem of detection of a two-component mixture is considered. Our aim is to decide whether $f$ is the density of a standard Gaussian random $d$-vector ($f=\phi_{d}$) against $f$ is a two-component mixture: $f=(1-\varepsilon)\phi_{d}+\varepsilon\phi_{d}(\cdot -\mu)$ where $(\varepsilon,\mu)$ are unknown parameters. Optimal separation conditions on $\varepsilon$, $\mu$, $n$ and the dimension $d$ are established, allowing to separate both hypotheses with prescribed errors. Several testing procedures are proposed and two alternative subsets are considered.

Soit $(X_{1},\ldots,X_{n})$ un $n$-échantillon $d$-dimensionnel dont la loi admet une densité $f$. Le problème de détection d’un mélange à deux composantes est étudié. Notre objectif est de déterminer si $f$ est la densité de la loi gaussienne centrée réduite $d$-dimensionnelle ($f=\phi_{d}$) contre $f$ est un mélange à deux composantes : $f=(1-\varepsilon)\phi_{d}+\varepsilon\phi_{d}(\cdot -\mu)$ où $(\varepsilon,\mu)$ sont des paramètres inconnus. Des conditions de séparation optimales sur $\varepsilon$, $\mu$, $n$ et la dimension $d$ sont établies, permettant de séparer les deux hypothèses à erreurs fixées. Plusieurs procédures de test sont proposées et deux sous-ensembles d’alternatives sont considérés.

We consider the Boolean model $Z$ on $\mathbb{R}^{d}$ with random compact grains of bounded diameter, i.e. $Z:=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(Z_{i}+X_{i})$ where $\{X_{1},X_{2},\dots\}$ is a Poisson point process of intensity $t$ and $(Z_{1},Z_{2},\dots)$ is an i.i.d. sequence of compact grains (not necessarily balls) with diameters a.s. bounded by some constant. We will show that exponential decay holds in the sub-critical regime, that means the volume and radius of the cluster of the typical grain in $Z$ have an exponential tail. To achieve this we adapt the arguments of (A new proof of the sharpness of the phase transition for Bernoulli percolation on $\mathbb{Z}^{d}$ (2015) Preprint) and apply a new construction of the cluster of the typical grain together with arguments related to branching processes.

In the second part of the paper, we obtain new lower bounds for the Boolean model with deterministic grains. Some of these bounds are rigorous, while others are obtained via simulation. The simulated bounds come with confidence intervals and are much more precise than the rigorous ones. They improve known results (J. Chem. Phys. 137 (2012) 074106) in dimension six and above.

Nous considérons le modèle Booléen $Z$ sur $\mathbb{R}^{d}$ avec des grains compacts aléatoires de diamètres bornés, c’est-à-dire $Z:=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(Z_{i}+X_{i})$ où $\{X_{1},X_{2},\dots\}$ est un processus de Poisson d’intensité $t$ et $(Z_{1},Z_{2},\dots)$ est une suite i.i.d. de grains compacts (non nécessairement des boules) de diamètres p.s. bornés par une constante. Nous montrons une décroissance exponentielle dans le régime sous-critique, ce qui veut dire que le volume et le rayon du cluster d’un grain typique dans $Z$ a une queue exponentielle. Pour cela, nous adaptons des résultats de (A new proof of the sharpness of the phase transition for Bernoulli percolation on $\mathbb{Z}^{d}$ (2015) Preprint) et appliquons une nouvelle construction du cluster d’un grain typique avec des arguments issus des processus de branchement. Dans la seconde partie du papier, nous obtenons de nouvelles bornes inférieures pour le modèle booléen avec grains déterministes. Certaines des ces bornes sont rigoureuses, alors que d’autres sont obtenues par simulation. Les bornes obtenues par simulation sont fournies avec des intervalles de confiance et sont beaucoup plus précises que celles obtenues rigoureusement. Elles améliorent les résultats connus (J. Chem. Phys. 137 (2012) 074106) en dimension 6 et plus.

In this note we identify the distributional limits of non-negative, ergodic stationary processes, showing that all are possible. Consequences for infinite ergodic theory are also explored and new examples of distributionally stable – and $\alpha$-rationally ergodic – transformations are presented.

Dans cette note, on identifie les limites distributionnelles des processus stationaires, ergodiques et positives. On montre que toutes se produisent. Les conséquences pour la théorie ergodique infinie sont également explorées et nouveaux exemples de transformations distributionnellement stables – et $\alpha$-rationnellement ergodiques – sont présentées.

The class of $R$-diagonal $*$-distributions is fairly well understood in free probability. In this class, we consider the concept of infinite divisibility with respect to the operation $\boxplus$ of free additive convolution. We exploit the relation between free probability and the parallel (and simpler) world of Boolean probability. It is natural to introduce the concept of an $\eta$-diagonal distribution that is the Boolean counterpart of an $R$-diagonal distribution. We establish a number of properties of $\eta$-diagonal distributions, then we examine the canonical bijection relating $\eta$-diagonal distributions to infinitely divisible $R$-diagonal ones. The overall result is a parametrization of an arbitrary $\boxplus$-infinitely divisible $R$-diagonal distribution that can arise in a $C^{*}$-probability space by a pair of compactly supported Borel probability measures on $[0,\infty)$. Among the applications of this parametrization, we prove that the set of $\boxplus$-infinitely divisible $R$-diagonal distributions is closed under the operation $\boxtimes$ of free multiplicative convolution.

Dans le cadre des probabilités libres, la classe des $*$-distributions $R$-diagonales est assez bien comprise. Dans cette classe, nous nous intéressons au concept d’infinie divisibilité par rapport à l’opération de convolution additive libre $\boxplus$. Nous exploitons la relation entre probabilités libres et le monde parallèle (et plus simple) des probabilités booléennes. Il est naturel d’introduire le concept de distributions $\eta$-diagonales, qui sont la contrepartie booléenne des distributions $R$-diagonales. Nous établissons un certain nombre de propriétés des distributions $\eta$-diagonales, avant d’examiner la bijection canonique reliant les distributions $\eta$-diagonales aux distributions $R$-diagonales indéfiniment divisibles. Le résultat principal est la paramétrisation par une paire de mesures boreliennes sur $[0,\infty)$ à support compact de toutes les lois $R$-diagonales $\boxplus$-indéfiniment divisibles pouvant apparaître dans un $C^{*}$-espace de probabilités. Parmi les applications de cette paramétrisation, nous montrons que l’ensemble des distributions $R$-diagonales $\boxplus$-indéfiniment divisibles est fermé sous l’opération $\boxtimes$ de convolution multiplicative libre.

We prove that the model of Activated Random Walks on $\mathbb{Z}^{d}$ with biased jump distribution does not fixate for any positive density, if the sleep rate is small enough, as well as for any finite sleep rate, if the density is close enough to $1$. The proof uses a new criterion for non-fixation. We provide a pathwise construction of the process, of independent interest, used in the proof of this non-fixation criterion.

On démontre que le modèle de marches aléatoires activées sur $\mathbb{Z}^{d}$ avec distribution de saut biaisée ne se fixe pas, quelle que soit la densité initiale si le taux de désactivation est suffisamment bas, ou quel que soit le taux (fini) de désactivation si la densité initiale est suffisamment proche de $1$. La démonstration fait appel à un nouveau critère de non-fixation. On fournit également une construction d’une version trajectorielle du processus, qui est utilisée dans la preuve de ce critère et qui présente un intérêt indépendant.

We prove that a uniformly chosen proper $3$-coloring of the $d$-dimensional discrete torus has a very rigid structure when the dimension $d$ is sufficiently high. We show that with high probability the coloring takes just one color on almost all of either the even or the odd sub-torus. In particular, one color appears on nearly half of the torus sites. This model is the zero temperature case of the $3$-state anti-ferromagnetic Potts model from statistical physics.

Our work extends previously obtained results for the discrete torus with specific boundary conditions. The main challenge in this extension is to overcome certain topological obstructions which appear when no boundary conditions are imposed on the model. Locally, a proper $3$-coloring defines the discrete gradient of an integer-valued height function which changes by exactly one between adjacent sites. However, these locally-defined functions do not always yield a height function on the entire torus, as the gradients may accumulate to a non-zero quantity when winding around the torus. Our main result is that in high dimensions, a global height function is well defined with high probability, allowing to deduce the rigid structure of the coloring from previously known results. Moreover, the probability that the gradients accumulate to a vector $m$, corresponding to the winding in each of the $d$ directions, is at most exponentially small in the product of $\|m\|_{\infty}$ and the area of a cross-section of the torus.

In the course of the proof we develop discrete analogues of notions from algebraic topology. This theory is developed in some generality and may be of use in the study of other models.

Nous montrons qu’un 3-coloriage aléatoire du tore $d$-dimensionnel a une structure rigide quand la dimension $d$ est suffisamment grande. Nous montrons qu’avec grande probabilité, le coloriage prend au plus une couleur sur, soit presque tout le sous-tore pair, soit presque tout le sous-tore impair. En particulier, une couleur apparaît sur presque la moitié des sites du tore. Ce modèle correspond au cas de température 0 du modèle de Potts anti-ferromagnétique à trois états, en physique statistique.

Notre travail étend les résultats obtenus pour le tore discret avec des conditions frontière spécifiques. La difficulté principale dans cette extension est de surmonter les obstructions topologiques qui apparaissent quand aucune condition frontière n’est imposée. Localement, un 3-coloriage propre définit le gradient discret d’une fonction de hauteur à valeurs entières qui diffère exactement d’un entre deux points voisins. Néanmoins, ces fonctions locales ne définissent pas forcément une fonction de hauteur sur le tore entier, car les gradients peuvent s’accumuler en une quantité non-nulle en s’enroulant autour du tore. Notre résultat principal est qu’en grande dimension, une fonction de hauteur est bien définie sur le tore entier avec grande probabilité, ce qui permet de déduire la structure rigide du coloriage en utilisant des résultats précédents. De plus, la probabilité que le gradient s’accumule en un vecteur $m$ correspondant à l’enroulement le long de chacune des $d$ directions est exponentiellement petit en le produit de $\|m\|_{\infty}$ et de l’aire de la section du tore dans cette direction.

Au long de la preuve, nous introduisons des analogues discrets de notions de topologie algébrique. Cette théorie est développée dans une généralité qui peut permettre une utilisation pour d’autres modèles.

We show that a generalized Asymmetric Exclusion Process called $\operatorname{ASEP}(q,j)$ introduced in (Probab. Theory Related Fields 166 (2016) 887–933). converges to the Cole–Hopf solution to the KPZ equation under weak asymmetry scaling.

Nous montrons qu’une généralisation du processus d’exclusion asymétrique appelée $\operatorname{ASEP}(q,j)$, introduite dans (Probab. Theory Related Fields 166 (2016) 887–933), converge sous faible asymétrie vers la solution de l’équation KPZ au sens de Cole–Hopf.

The frog model starts with one active particle at the root of a graph and some number of dormant particles at all nonroot vertices. Active particles follow independent random paths, waking all inactive particles they encounter. We prove that certain frog model statistics are monotone in the initial configuration for two nonstandard stochastic dominance relations: the increasing concave and the probability generating function orders.

This extends many canonical theorems. We connect recurrence for random initial configurations to recurrence for deterministic configurations. Also, the limiting shape of activated sites on the integer lattice respects both of these orders. Other implications include monotonicity results on transience of the frog model where the number of frogs per vertex decays away from the origin, on survival of the frog model with death, and on the time to visit a given vertex in any frog model.

Le modèle de la grenouille se base sur un graphe contenant une particule active à sa racine et un certain nombre de particules dormantes sur ses autres sites. Les particules actives suivent des chemins aléatoires, et éveillent les particules inactives qu’elles rencontrent. Nous montrons que certaines statistiques des modèles de grenouilles sont monotones en leur configuration initiale pour deux relations d’ordre: l’ordre concave croissant et l’ordre des fonctions génératrices.

Ces résultats étendent de nombreux théorèmes canoniques. On établit un lien entre la récurrence de la configuration initiale et la récurrence de configurations déterministes. De plus, dans le graphe naturel des entiers, la forme limite des sites activés respecte ces deux relations d’ordre. D’autres conséquences concernent des résultats de monotonicité sur la transience du modèle de grenouille où le nombre de grenouilles par site diminue lorsque l’on s’éloigne de l’origine, sur la survie dans un modèle intégrant la mort, et sur les temps de visite a un site donné dans n’importe quel modèle de grenouille.

We consider the totally asymmetric simple exclusion process on a ring with stationary initial conditions. The crossover between KPZ dynamics and equilibrium dynamics occurs when time is proportional to the $3/2$ power of the ring size. We obtain the limit of the height function along the direction of the characteristic line in this time scale. The two-point covariance function in this scale is also discussed.

Nous considérons le processus d’exclusion simple totalement asymétrique sur un anneau, avec condition initiale stationnaire. La transition entre la dynamique KPZ et la dynamique d’équilibre a lieu lorsque le temps est proportionnel à la puissance $3/2$ de la taille de l’anneau. Nous obtenons la limite de la fonction de hauteur le long de la droite caractéristique dans cette échelle de temps. Nous étudions également la fonction de covariance à deux points dans cette même échelle.

For the problem of nonparametric regression of smooth functions, we reconsider and analyze a constrained variational approach, which we call the MultIscale Nemirovski–Dantzig (MIND) estimator. This can be viewed as a multiscale extension of the Dantzig selector (Ann. Statist. 35 (2009) 2313–2351) based on early ideas of Nemirovski (J. Comput. System Sci. 23 (1986) 1–11). MIND minimizes a homogeneous Sobolev norm under the constraint that the multiresolution norm of the residual is bounded by a universal threshold. The main contribution of this paper is the derivation of convergence rates of MIND with respect to $L^{q}$-loss, $1\le q\le\infty $, both almost surely and in expectation. To this end, we introduce the method of approximate source conditions. For a one-dimensional signal, these can be translated into approximation properties of B-splines. A remarkable consequence is that MIND attains almost minimax optimal rates simultaneously for a large range of Sobolev and Besov classes, which provides certain adaptation. Complimentary to the asymptotic analysis, we examine the finite sample performance of MIND by numerical simulations. A MATLAB package is available online.

Dans le cadre du problème de la régression paramétrique de fonctions lisses, nous revisitons et analysons une approche variationnelle contrainte, que nous appelons l’estimateur de Nemirovski–Dantzig multi-échelle (MIND). Il peut être vu comme une extension multi-échelle du sélecteur de Dantzig (Ann. Statist. 35 (2009) 2313–2351), reposant sur des idées antérieures de Nemirovski (J. Comput. System Sci. 23 (1986) 1–11). MIND minimise une norme de Sobolev homogène sous la contrainte que la norme multi-résolution du terme résiduel est bornée par un seuil universel. La contribution principale de cet article est d’obtenir des vitesses de convergence de MIND pour une norme $L^{q},1\leq q\leq \infty $, à la fois p.s. et en moyenne. À cette fin, nous introduisons la méthode des conditions de sources approximées. Dans le cas d’un signal unidimensionnel, on peut exprimer ces dernières en termes de propriétés d’approximation de B-splines. Une conséquence remarquable est que MIND atteint presque des taux minimax optimaux simultanément pour un large ensemble d’espaces de Sobolev et Besov, ce qui montre une adaptabilité certaine. En plus de l’analyse asymptotique, nous étudions la performance de MIND pour un échantillon fini à l’aide de simulations numériques. Un package MATLAB est disponible en ligne.

We provide a new probabilistic proof of the connection between Rost’s solution of the Skorokhod embedding problem and a suitable family of optimal stopping problems for Brownian motion, with finite time-horizon. In particular we use stochastic calculus to show that the time reversal of the optimal stopping sets for such problems forms the so-called Rost’s reversed barrier.

Nous donnons une nouvelle preuve probabiliste de la relation entre la solution de Rost du problème de plongement de Skorokhod et une famille convenable de problèmes d’arrêt optimal pour le mouvement Brownien, à horizon de temps fini. En particulier, nous utilisons le calcul stochastique pour montrer que le retourné en temps des ensembles d’arrêt optimal forme ce qu’on appelle la barrière de Rost retournée.

We introduce and analyse a class of fragmentation-coalescence processes defined on finite systems of particles organised into clusters. Coalescent events merge multiple clusters simultaneously to form a single larger cluster, while fragmentation breaks up a cluster into a collection of singletons. Under mild conditions on the coalescence rates, we show that the distribution of cluster sizes becomes non-random in the thermodynamic limit. Moreover, we discover that in the limit of small fragmentation rate these processes exhibit a universal cluster size distribution regardless of the details of the rates, following a power law with exponent $3/2$.

Nous introduisons et étudions une classe de processus de fragmentation-coalescence définis sur des systèmes finis de particules organisées en amas. Lors d’un événement de coalescence, de multiples amas fusionnent simultanément en un amas plus gros, et dans le cas d’un événement de fragmentation, un amas est détruit en une collection de singletons. Sous des hypothèses faibles sur les taux de coalescence, nous montrons que la loi des tailles des amas devient déterministe dans la limite thermodynamique. De plus, nous montrons que dans la limite des petits taux de fragmentation, ces processus admettent une loi universelle pour la les tailles des amas, indépendante de la valeur précise des taux, et qui suit une loi de puissance avec un exposant $3/2$.

We show that for all positive $\beta$ the semigroups of $\beta$-Dyson Brownian motions of different dimensions are intertwined. The proof relates $\beta$-Dyson Brownian motions directly to Jack symmetric polynomials and omits an approximation of the former by discrete space Markov chains, thereby disposing of the technical assumption $\beta\ge1$ in (Probab. Theory Related Fields 163 (2015) 413–463). The corresponding results for $\beta$-Dyson Ornstein–Uhlenbeck processes are also presented.

Nous montrons que pour tout $\beta>0$, les semigroupes des $\beta$-mouvements browniens de Dyson sont entrelacés. La preuve consiste à relier directement les $\beta$-mouvements browniens de Dyson aux polynômes symétriques de Jack, et évite donc un argument d’approximation par des chaînes de Markov à espace d’état discret, ce qui permet de se débarrasser de l’hypothèse technique $\beta\ge1$ faite dans (Probab. Theory Related Fields 163 (2015) 413–463). Les résultats correspondants pour les processus $\beta$-Ornstein Uhlenbeck de Dyson sont aussi présentés.