KPZ and Airy limits of Hall–Littlewood random plane partitions

Abstract

In this paper we consider a probability distribution $\mathbb{P}^{q,t}_{\mathrm{HL}}$ on plane partitions, which arises as a one-parameter generalization of the standard $q^{\mathrm54}$ measure. This generalization is closely related to the classical multivariate Hall–Littlewood polynomials, and it was first introduced by Vuletić in (Trans. Am. Math. Soc. 361 (2009) 2789–2804).

We prove that as the plane partitions become large ($q$ goes to $1$, while the Hall–Littlewood parameter $t$ is fixed), the scaled bottom slice of the random plane partition converges to a deterministic limit shape, and that one-point fluctuations around the limit shape are asymptotically given by the GUE Tracy–Widom distribution. On the other hand, if $t$ simultaneously converges to its own critical value of $1$, the fluctuations instead converge to the one-dimensional Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation with the so-called narrow wedge initial data.

The algebraic part of our arguments is closely related to the formalism of Macdonald processes (Probab. Theory Relat. Fields 158 (1) (2014) 225–400). The analytic part consists of detailed asymptotic analysis of the arising Fredholm determinants.

Dans cet article, nous considérons une distribution de probabilité $\mathbb{P}^{q,t}_{\mathrm{HL}}$ sur les partitions planes, qui apparaît comme une généralisation à un paramètre de la mesure standard $q^{\mathrm54}$. Cette généralisation est étroitement reliée aux classiques polynômes multivariés de Hall–Littlewood, et a été introduite pour la première fois par Vuletić dans (Trans. Am. Math. Soc. 361 (2009) 2789–2804).

Nous montrons que lorsque la partition plane devient grande ($q$ tend vers $1$, alors que le paramètre de Hall–Littlewood $t$ est fixé), la partie inférieure proprement renormalisée de la partition plane converge vers une forme limite déterministe, et que les fluctuations à un point autour de la forme limite sont asymptotiquement données par la distribution du GUE Tracy–Widom. Par contre, si $t$ converge vers sa propre valeur critique $1$, les fluctuations convergent cette fois vers l’équation unidimensionnelle de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) avec les conditions initiales à courte bande (narrow wedge data).

La partie algébrique de notre argument est étroitement reliée au formalisme des processus de Macdonald (Probab. Theory Relat. Fields 158 (1) (2014) 225–400). La partie analytique consiste en une analyse asymptotique détaillée des déterminants de Fredholm associés.