Stochastic integral equations for Walsh semimartingales

Abstract

We construct planar semimartingales that include the Walsh Brownian motion as a special case, and derive Harrison–Shepp-type equations and a change-of-variable formula in the spirit of Freidlin–Sheu for these so-called “Walsh semimartingales”. We examine the solvability of the resulting system of stochastic integral equations. In appropriate Markovian settings we study two types of connections to martingale problems, questions of uniqueness in distribution for such processes, and a few examples.

Nous construisons des semimartingales planaires qui incluent le mouvement brownien de Walsh comme cas particulier, et nous établissons pour ces « semimartingales de Walsh » des équations de type Harrison–Shepp, et une formule de changement de variable dans l’esprit de Freidlin–Sheu. Dans des cadres markoviens appropriés, nous étudions deux types de relations aux problèmes de martingale, des questions d’unicité en loi pour de tels processus, et quelques exemples.