By elementary geometric arguments, correlation inequalities for radially symmetric probability measures are proved in the plane. Precisely, it is shown that the correlation ratio for pairs of width-decreasing sets is minimized within the class of infinite strips. Since open convex sets which are symmetric with respect to the origin turn out to be width-decreasing sets, Pitt’s Gaussian correlation inequality (the two-dimensional case of the long-standing Gaussian correlation conjecture) is derived as a corollary, and it is in fact extended to a wide class of radially symmetric measures.

En utilisant des arguments géométriques élémentaires, on démontre des inégalités de corrélation pour des mesures de probabilité à symétrie radiale. Plus précisément on montre que, parmi la famille des ensembles width-decreasing, le ratio de corrélation est minimisé par des bandes. Comme les ouverts convexes symétriques appartiennent à cette famille, on retrouve comme corollaire le résultat de Pitt sur la validité de la conjecture de corrélation gaussiennne en dimension 2, qui est étendue dans ce papier à une large classe de mesures à symétrie radiale.

The well-known Bennett–Hoeffding bound for sums of independent random variables is refined, by taking into account positive-part third moments, and at that significantly improved by using, instead of the class of all increasing exponential functions, a much larger class of generalized moment functions. The resulting bounds have certain optimality properties. The results can be extended in a standard manner to (the maximal functions of) (super)martingales. The proof of the main result relies on an apparently new method that may be referred to as infinitesimal spin-off. Parts of the proof also use the method of certificates of positivity in real algebraic geometry.

La borne de Bennett–Hoeffding pour des sommes de variables aléatoires indépendantes est précisée, en prenant en compte la partie positive des troisièmes moments et sensiblement améliorée en utilisant, au lieu de la classe de toutes les fonctions exponentielles croissantes, une classe beaucoup plus important de fonctions de moment généralisées. Les limites qui en résultent ont certaines propriétés d’optimalité. Les résultats peuvent être étendus de manière standard pour (les fonctions maximales de) (sur)martingales. La preuve du résultat principal repose sur une méthode apparemment nouvelle. Des éléments de la preuve utilisent également la méthode des certificats de positivité de la géométrie algébrique réelle.

Ground states of the Edwards–Anderson (EA) spin glass model are studied on infinite graphs with finite degree. Ground states are spin configurations that locally minimize the EA Hamiltonian on each finite set of vertices. A problem with far-reaching consequences in mathematics and physics is to determine the number of ground states for the model on $\mathbb{Z}^{d}$ for any $d$. This problem can be seen as the spin glass version of determining the number of infinite geodesics in first-passage percolation or the number of ground states in the disordered ferromagnet. It was recently shown by Newman, Stein and the two authors that, on the half-plane $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$, there is a unique ground state (up to global flip) arising from the weak limit of finite-volume ground states for a particular choice of boundary conditions. In this paper, we study the entire set of ground states on the infinite graph, proving that the number of ground states on the half-plane must be two (related by a global flip) or infinity. This is the first result on the entire set of ground states in a non-trivial dimension. In the first part of the paper, we develop tools of interest to prove the analogous result on $\mathbb{Z}^{d}$.

Les états fondamentaux du modèle de verre de spins de Edwards–Anderson (EA) sont étudiés sur des graphes infinis de degré fini. Les états fondamentaux sont les configurations de spins qui minimisent de manière locale l’Hamiltonien pour chaque ensemble fini de sommets. Un problème avec des implications importantes en physique et en mathématique est de déterminer le nombre d’états fondamentaux pour le modèle sur $\mathbb{Z}^{d}$ pour un $d>1$ donné. Ce problème est la version équivalente pour les modèles de verre de spins du problème du nombre de géodésiques infinies en percolation de premier passage et du nombre d’états fondamentaux du modèle d’Ising ferromagnétique désordonné. Il a été montré récemment par Newman, Stein et les deux auteurs que sur le demi-plan $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$, il existe un unique état fondamental (modulo un flip global des spins) produit par la limite faible des états fondamentaux des volumes finis pour un choix spécifique des conditions frontières. Dans cet article, nous étudions l’ensemble de tous les états fondamentaux sur le graphe infini $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$. Nous montrons que le nombre d’états fondamentaux est deux (correspondant à un flip global des spins) ou infini. Ceci est le premier résultat sur l’ensemble de tous les états fondamentaux pour une dimension non-triviale. Dans la première partie, nous développons des outils qui sont pertinents à la résolution du problème analogue sur $\mathbb{Z}^{d}$.

We study a spin system with both mixed even-spin Sherrington–Kirkpatrick (SK) couplings and Curie–Weiss (CW) interaction. Our main results are: (i) The thermodynamic limit of the free energy is given by a variational formula involving the free energy of the SK model with a change in the external field. (ii) In the presence of a centered Gaussian external field, the positivity of the overlap and the extended Ghirlanda–Guerra identities hold on a dense subset of the temperature parameters. (iii) We establish a general inequality between the magnetization and overlap. (iv) We construct a temperature region in which the magnetization can be quantitatively controlled and deduce different senses of convergence for the magnetization depending on whether the external field is present or not. Our approach is based on techniques from the study of the CW and SK models and results in convex analysis.

Nous étudions un système dont les spins ont à la fois des couplages du type Sherrington–Kirkpatrick (SK) et des interactions du type Curie–Weiss (CW). Nos principaux résultats sont les suivants : (i) la limite thermodynamique de l’énergie libre est donnée par une formule variationnelle impliquant l’énergie libre du modèle SK avec un changement dans le champ magnétique externe. (ii) En présence d’un champ extérieur Gaussien centré, le recouvrement est positif et les identités généralisées de Ghirlanda–Guerra sont valides pour un sous ensemble dense des paramètres de température. (iii) Nous établissons une inégalité générale entre l’aimantation et le recouvrement. (iv) Nous identifions un domaine de températures où l’aimantation peut être contrôlée quantitativement et nous déduisons plusieurs types de convergences pour l’aimantation en présence ou non d’un champ extérieur. Notre approche repose sur des méthodes développées pour l’étude des modèles CW et SK et sur des résultats d’analyse convexe.

We obtain the asymptotics for the speed of a particular case of a particle system with branching and selection introduced by Bérard and Gouéré [Comm. Math. Phys. 298 (2010) 323–342]. The proof is based on a connection with a supercritical Galton–Watson process censored at a certain level.

Nous étudions un cas particulier de système de particules avec branchement et sélection introduit par Bérard et Gouéré [Comm. Math. Phys. 298 (2010) 323–342]. Nous obtenons l’asympotique pour la vitesse, en remarquant un lien avec un processus de Galton–Watson surcritique censuré à un certain niveau.

We derive asymptotics for the probability that the origin is an extremal point of a random walk in $\mathbb{R}^{n}$. We show that in order for the probability to be roughly $1/2$, the number of steps of the random walk should be between $\mathrm{e}^{n/(C\log n)}$ and $\mathrm{e}^{Cn\log n}$ for some constant $C>0$. As a result, we attain a bound for the $\frac{\pi}{2}$-covering time of a spherical Brownian motion.

Nous étudions le comportement asymptotique de la probabilité que l’origine soit un point extrémal d’une marche aléatoire dans $\mathbb{R}^{n}$. Nous montrons que cette probabilité est proche de $1/2$ si le nombre de pas de la marche aléatoire est entre $\mathrm{e}^{n/(C\log n)}$ et $\mathrm{e}^{Cn\log n}$ pour une certaine constante $C>0$. Comme corollaire, nous obtenons une borne pour le temps de $\frac{\pi}{2}$-recouvrement d’un mouvement brownien sphérique.

In this paper we study upper bounds for the density of solution to stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H>1/3$. We show that under some geometric conditions, in the regular case $H>1/2$, the density of the solution satisfies the log-Sobolev inequality, the Gaussian concentration inequality and admits an upper Gaussian bound. In the rough case $H>1/3$ and under the same geometric conditions, we show that the density of the solution is smooth and admits an upper sub-Gaussian bound.

Dans ce papier nous étudions des bornes supérieures pour la densité d’une solution déquation différentielle conduite par un mouvement brownien fractionnaire d’indice de Hurst $H>1/3$. Nous montrons, que sous certaines conditions géomètriques, dans le cas régulier $H>1/2$, la densité de la solution satisfait l’inégalité de log-Sobolev, l’inégalité de concentration gaussienne et admet une borne supérieure gaullienne. Dans le cas $H>1/3$ et sous la même condition géomètrique, nous montrons que la densité est infiniment différentiable et admet une borne supérieure sous-gaussienne.

We consider a family of nonlinear stochastic heat equations of the form $\partial_{t}u=\mathcal{L}u+\sigma(u)\dot{W}$, where $\dot{W}$ denotes space–time white noise, $\mathcal{L}$ the generator of a symmetric Lévy process on $\mathbf{R} $, and $\sigma$ is Lipschitz continuous and zero at 0. We show that this stochastic PDE has a random-field solution for every finite initial measure $u_{0}$. Tight a priori bounds on the moments of the solution are also obtained.

In the particular case that $\mathcal{L}f=cf''$ for some $c>0$, we prove that if $u_{0}$ is a finite measure of compact support, then the solution is with probability one a bounded function for all times $t>0$.

Nous considérons une famille d’équations de la chaleur stochastique de la forme $\partial_{t}u=\mathcal{L}u+\sigma(u)\dot{W}$, où $\dot{W}$ est un bruit-blanc espace–temps, $\mathcal{L}$ est le générateur d’un processus de Lévy symétrique sur $\mathbf{R} $, et $\sigma$ est une fonction lipschizienne s’annulant en $0$. Nous montrons que cette équation aux dérivées partielles stochastique a une solution de type champ aléatoire pour toute mesure initiale finie $u_{0}$. Nous obtenons également des bornes a priori sur les moments de la solution.

Dans le cas particulier où $\mathcal{L}f=cf''$ pour un $c>0$, nous montrons que si $u_{0}$ est une mesure finie à support compact, la solution est presque sûrement une fonction bornée pour tout $t>0$.

Under the key assumption of finite $\rho$-variation, $\rho\in\lbrack1,2)$, of the covariance of the underlying Gaussian process, sharp a.s. convergence rates for approximations of Gaussian rough paths are established. When applied to Brownian resp. fractional Brownian motion (fBM), $\rho=1$ resp. $\rho=1/(2H)$, we recover and extend the respective results of (Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009) 2689–2718) and (Ann. Inst. Henri Poincasé Probab. Stat. 48 (2012) 518–550). In particular, we establish an a.s. rate $k^{-(1/\rho-1/2-\varepsilon)}$, any $\varepsilon>0$, for Wong–Zakai and Milstein-type approximations with mesh-size $1/k$. When applied to fBM this answers a conjecture in the afore-mentioned references.

Nous établissons des vitesses fines de convergence presque sûre pour les approximations des chemins rugueux Gaussiens, sous l’hypothèse que la fonction de covariance du processus Gaussien sous-jacent ait une $\rho$-variation finie, $\rho \in[1,2)$. Dans le cas du mouvement Brownien, respectivement du Brownien fractionnaire (fBM), pour lesquels $\rho=1$ resp. $\rho=1/(2H)$, ce résultat généralise les résultats respectifs de (Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009) 2689–2718) et (Ann. Inst. Henri Poincasé Probab. Stat. 48 (2012) 518–550).

Notamment, nous établissons le taux de convergence presque sure $k^{-(1/\rho-1/2-\varepsilon)}$, tout $\varepsilon>0$, pour les approximations de Wong–Zakai et de type Milstein avec pas de discrétisation $1/k$. Dans le cas du fBM, ce résultat résout une conjecture posée par les références ci-dessus.

Take a centered random walk $S_{n}$ and consider the sequence of its partial sums $A_{n}:=\sum_{i=1}^{n}S_{i}$. Suppose $S_{1}$ is in the domain of normal attraction of an $\alpha$-stable law with $1<\alpha\le2$. Assuming that $S_{1}$ is either right-exponential (i.e. $\mathbb{P}(S_{1}>x|S_{1}>0)=\mathrm{e}^{-ax}$ for some $a>0$ and all $x>0$) or right-continuous (skip free), we prove that

\[\mathbb{P}\{A_{1}>0,\dots,A_{N}>0\}\sim C_{\alpha}N^{{1}/{(2\alpha)}-1/2}\]

as $N\to\infty$, where $C_{\alpha}>0$ depends on the distribution of the walk. We also consider a conditional version of this problem and study positivity of integrated discrete bridges.

Soit $S_{n}$ une marche aléatoire centrée, nous considérons la suite de ses sommes partielles $A_{n}:=\sum_{i=1}^{n}S_{i}$. Nous supposons que $S_{1}$ est dans le domaine d’attraction normale d’une loi $\alpha$-stable avec $1<\alpha\le2$. En supposant que $S_{1}$ est soit exponentielle à droite (i.e. $\mathbb{P}(S_{1}>x|S_{1}>0)=\mathrm{e}^{-ax}$), soit continue à droite (i.e. $\mathbb{P}(S_{1}=1|S_{1}>0)=1$), nous prouvons que

\[\mathbb{P}\{A_{1}>0,\dots,A_{N}>0\}\sim C_{\alpha}N^{{1}/{(2\alpha)}-1/2}\]

quand $N\to\infty$, où $C_{\alpha}>0$ dépend de la distribution de la marche. Nous considérons aussi une version conditionnelle de ce problème et nous étudions la positivité de ponts discrets intégrés.

We consider some classes of Lévy processes for which the estimate of Krylov and Safonov (as in (Potential Anal. 17 (2002) 375–388)) fails and thus it is not possible to use the standard iteration technique to obtain a-priori Hölder continuity estimates of harmonic functions. Despite the failure of this method, we obtain some a-priori regularity estimates of harmonic functions for these processes. Moreover, we extend results from (Probab. Theory Related Fields 135 (2006) 547–575) and obtain asymptotic behavior of the Green function and the Lévy density for a large class of subordinate Brownian motions, where the Laplace exponent of the corresponding subordinator is a slowly varying function.

On considère des classes de processus de Lévy pour lesquels les estimations de Krylov et Safonov (comme dans (Potential Anal. 17 (2002) 375–388)) ne sont pas verifiées donc il n’est pas possible d’utiliser la technique standard d’itération pour obtenir a priori des estimations de continuité Hölder pour des fonctions harmoniques. Bien qu’il soit impossible d’appliquer cette méthode, on obtient des estimations a priori de régularité de fonctions harmoniques pour ces processus. De plus, on étend les résultats de (Probab. Theory Related Fields 135 (2006) 547–575) et on obtient les comportements asymptotiques de la fonction de Green et de la densité de Lévy pour une grande classe de mouvements browniens subordonnés, où l’exposant de Laplace du subordinateur correspondant est une fonction à variation lente.

We consider “nonconventional” averaging setup in the form $\frac{\mathrm{d}X^{\varepsilon }(t)}{\mathrm{d}t}=\varepsilon B(X^{\varepsilon }(t)$, $\varXi (q_{1}(t)),\varXi (q_{2}(t)),\ldots,\varXi (q_{\ell}(t)))$ where $\varXi (t)$, $t\geq0$ is either a stochastic process or a dynamical system with sufficiently fast mixing while $q_{j}(t)={\alpha }_{j}t$, ${\alpha }_{1}<{\alpha }_{2}<\cdots<{\alpha }_{k}$ and $q_{j}$, $j=k+1,\ldots,\ell$ grow faster than linearly. We show that the properly normalized error term in the “nonconventional” averaging principle is asymptotically Gaussian.

Nous considérons un cadre non conventionnel de moyenne de la forme $\frac{\mathrm{d}X^{\varepsilon }(t)}{\mathrm{d}t}=\varepsilon B(X^{\varepsilon }(t)$, $\varXi (q_{1}(t)),\varXi (q_{2}(t)),\ldots,\varXi (q_{\ell}(t)))$ où $\varXi (t)$, $t\geq0$ est un processus stochastique ou un système dynamique suffisamment mélangeant tandis que $q_{j}(t)={\alpha }_{j}t$, ${\alpha }_{1}<{\alpha }_{2}<\cdots<{\alpha }_{k}$ et $q_{j}$, $j=k+1,\ldots,\ell$ ont une croissance sur-linéaire. Nous montrons que le terme d’erreur après renormalisation est asymptotiquement gaussien.

We prove stable limit theorems and one-sided laws of the iterated logarithm for a class of positive, mixing, stationary, stochastic processes which contains those obtained from nonintegrable observables over certain piecewise expanding maps. This is done by extending Darling–Kac theory to a suitable family of infinite measure preserving transformations.

Nous prouvons des théorèmes limites et des lois du logarithme itéré unilatérales pour une classe de processus stochastiques positifs, mélangeants et stationnaires. Cette classe contient en particulier les processus obtenus par des observables nonintégrables de certaines applications dilatantes. Ceci est obtenu en généralisant la théorie de Darling–Kac à une famille appropriée de transformations préservant la mesure.

We consider the problem of estimating a function $s$ on $[-1,1]^{k}$ for large values of $k$ by looking for some best approximation of $s$ by composite functions of the form $g\circ u$. Our solution is based on model selection and leads to a very general approach to solve this problem with respect to many different types of functions $g,u$ and statistical frameworks. In particular, we handle the problems of approximating $s$ by additive functions, single and multiple index models, artificial neural networks, mixtures of Gaussian densities (when $s$ is a density) among other examples. We also investigate the situation where $s=g\circ u$ for functions $g$ and $u$ belonging to possibly anisotropic smoothness classes. In this case, our approach leads to a completely adaptive estimator with respect to the regularities of $g$ and $u$.

Cet article traite du problème de l’estimation d’une fonction $s$ définie sur $[-1,1]^{k}$ lorsque $k$ est grand en utilisant des approximations de $s$ par des fonctions composées de la forme $g\circ u$. Notre solution est fondée sur la sélection de modèle et conduit, pour résoudre ce problème, à une approche très générale tant sur les possibilités de choix des fonctions $g$ et $u$ que sur les cadres statistiques d’application. En particulier, et entre autres exemples, nous considérons l’approximation de $s$ par des fonctions additives, des modèles de type “single” ou “multiple index”, des réseaux de neurones, ou des mélanges de densités gaussiennes lorsque $s$ est elle-même une densité. Nous étudions également le cas où $s$ est exactement de la forme $g\circ u$ pour des fonctions $g$ et $u$ appartenant à des classes de régularités qui peuvent être anisotropes. Dans ce cas, notre approche conduit à un estimateur complètement adaptatif par rapport aux régularités de $g$ et $u$.