The Tracy–Widom $\beta$ distribution is the large dimensional limit of the top eigenvalue of $\beta$ random matrix ensembles. We use the stochastic Airy operator representation to show that as $a\to\infty$ the tail of the Tracy–Widom distribution satisfies

\[P(\mathit{TW}_{\beta}>a)=a^{-(3/4)\beta+\mathrm{o}(1)}\exp\biggl(-\frac{2}{3}\beta a^{3/2}\biggr).\]

La loi de Tracy–Widom $\beta$ est la limite de la plus grande valeur propre des ensembles $\beta$ de matrices aléatoires lorsque leur taille tend vers l’infini. Nous utilisons la représentation par l’opérateur stochastique d’Airy pour montrer que lorsque $a\to\infty$ la queue de la loi de Tracy–Widom vérifie :

\[P(\mathit{TW}_{\beta}>a)=a^{-(3/4)\beta+\mathrm{o}(1)}\exp\biggl(-\frac{2}{3}\beta a^{3/2}\biggr).\]

We study a class of rotation invariant determinantal ensembles in the complex plane; examples include the eigenvalues of Gaussian random matrices and the roots of certain families of random polynomials. The main result is a criterion for a central limit theorem to hold for angular statistics of the points. The proof exploits an exact formula relating the generating function of such statistics to the determinant of a perturbed Toeplitz matrix.

Nous étudions une classe d’ensembles déterminantaux dans le plan complexe invariants par rotation; cette classe comprend les cas des valeurs propres de matrices gaussiennes aléatoires et des zéros de certaines familles de polynomes aléatoires. Le résultat principal est un critère pour l’existence d’un théorème de la limite centrale pour la statistique des angles entre les points. La preuve utilise une formule exacte reliant la fonction génératrice de telles statistiques au déterminant d’une matrice de Toeplitz perturbée.

The goal of this paper is to analyse the asymptotic behaviour of the cycle process and the total number of cycles of weighted and generalized weighted random permutations which are relevant models in physics and which extend the Ewens measure. We combine tools from combinatorics and complex analysis (e.g. singularity analysis of generating functions) to prove that under some analytic conditions (on relevant generating functions) the cycle process converges to a vector of independent Poisson variables and to establish a central limit theorem for the total number of cycles. Our methods allow us to obtain an asymptotic estimate of the characteristic functions of the different random vectors of interest together with an error estimate, thus having a control on the speed of convergence. In fact we are able to prove a finer convergence for the total number of cycles, namely mod-Poisson convergence. From there we apply previous results on mod-Poisson convergence to obtain Poisson approximation for the total number of cycles as well as large deviations estimates.

Dans cet article nous étudions le comportement asymptotique du nombre de cycles ainsi que du nombre total de cycles pour certains types de permutations aléatoires issues de modèles physiques et qui généralisent la mesure d’Ewens. En utilisant une analyse des singularités des fonctions génératrices nous démontrons que sous certaines conditions le processus du nombre de cycles converge en loi vers un vecteur de variables de Poisson indépendantes et que le nombre total de cycles satisfait un théorème central limite. En fait les méthodes employées nous permettent d’avoir une estimation asymptotique précise de la fonction caractéristique des différents vecteurs aléatoires étudiés avec un contrôle sur les termes d’erreur. Ainsi nous somme en mesure de prouver une convergence plus fine pour le nombre total de cyles, à savoir une convergence mod-Poisson, de laquelle nous déduisons des résultats d’approximation Poissonienne et de grandes déviations précises.

In the present work, we consider spectrally positive Lévy processes $(X_{t},t\geq0)$ not drifting to $+\infty$ and we are interested in conditioning these processes to reach arbitrarily large heights (in the sense of the height process associated with $X$) before hitting $0$.

This way we obtain a new conditioning of Lévy processes to stay positive. The (honest) law ${\mathbb{P}}_{x}^{\star}$ of this conditioned process (starting at $x>0$) is defined as a Doob $h$-transform via a martingale. For Lévy processes with infinite variation paths, this martingale is $(\int\tilde{\rho}_{t}(\mathrm{d}z)\mathrm{e}^{{\alpha}{z}}+I_{t})\mathbf{1} _{\{t\leq T_{0}\}}$ for some $\alpha$ and where $(I_{t},t\geq0)$ is the past infimum process of $X$, where $(\tilde{\rho}_{t},t\geq0)$ is the so-called exploration process defined in [10] and where $T_{0}$ is the hitting time of 0 for $X$. Under ${\mathbb{P}}_{x}^{\star}$, we also obtain a path decomposition of $X$ at its minimum, which enables us to prove the convergence of ${\mathbb{P}}_{x}^{\star}$ as $x\to0$.

When the process $X$ is a compensated compound Poisson process, the previous martingale is defined through the jumps of the future infimum process of $X$. The computations are easier in this case because $X$ can be viewed as the contour process of a (sub)critical splitting tree. We also can give an alternative characterization of our conditioned process in the vein of spine decompositions.

Dans ce travail, on considère des processus de Lévy $(X_{t},t\geq0)$ ne dérivant pas vers $+\infty$ et on s’intéresse à leur conditionnement à atteindre des hauteurs arbitrairement grandes (au sens du processus des hauteurs associé à $X$) avant de toucher $0$.

On obtient ainsi une nouvelle manière de conditionner des processus de Lévy à rester positifs. La loi (honnête) ${\mathbb{P}}_{x}^{\star}$ de ce processus conditionné (partant de $x>0$) est définie selon une $h$-transformée de Doob à l’aide d’une martingale. En ce qui concerne les processus de Lévy ayant des trajectoires à variation infinie, cette martingale est $(\int\tilde{\rho}_{t}(\mathrm{d}z)\mathrm{e}^{\alpha z}+I_{t})\mathbf{1} _{\{t\leq T_{0}\}}$ pour un certain $\alpha$ et où $(I_{t},t\geq0)$ est le processus infimum de $X$, où $(\tilde{\rho}_{t},t\geq0)$ est le processus d’exploration défini dans [10] et où $T_{0}$ est le temps d’atteinte de 0 par $X$. Sous ${\mathbb{P}}_{x}^{\star}$, on obtient également une décomposition de la trajectoire de $X$ en son minimum; ce qui permet de prouver la convergence de ${\mathbb{P}}_{x}^{\star}$ quand $x\to0$.

Lorsque le processus $X$ est un processus de Poisson composé compensé, la martingale est définie à partir des sauts du processus infimum futur de $X$. Les preuves sont plus simples dans ce cas puisque on peut voir $X$ comme le processus de contour d’un arbre de ramification (sous)critique. Dans ce cas, on énonce aussi une caractérisation alternative du processus conditionné dans l’esprit des décompositions spinales.

The $\sigma$-finite measure $\mathcal{P} _{\sup}$ which unifies supremum penalisations for a stable Lévy process is introduced. Silverstein’s coinvariant and coharmonic functions for Lévy processes and Chaumont’s $h$-transform processes with respect to these functions are utilized for the construction of $\mathcal{P} _{\sup}$.

On introduit la mesure $\sigma$-finie $\mathcal{P} _{\sup}$, unifiant les pénalisations selon le supremum pour un processus de Lévy stable. Dans la construction de $\mathcal{P} _{\sup}$ on utilise les fonctions co-invariantes et co-harmoniques de Silverstein pour les processus de Lévy, et les processus $h$-transformés par rapport à ces fonctions selon l’approche de Chaumont.

We consider the linear Schrödinger equation under periodic boundary conditions, driven by a random force and damped by a quasilinear damping:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u+\mathrm{i}\bigl(-\Delta+V(x)\bigr)u=\nu\bigl(\Delta u-\gamma_{R}|u|^{2p}u-\mathrm{i}\gamma_{I}|u|^{2q}u\bigr)+\sqrt{\nu}\eta(t,x).\quad(\ast)\]

The force $\eta$ is white in time and smooth in $x$; the potential $V(x)$ is typical. We are concerned with the limiting, as $\nu\to0$, behaviour of solutions on long time-intervals $0\le t\le\nu^{-1}T$, and with behaviour of these solutions under the double limit $t\to\infty$ and $\nu\to0$. We show that these two limiting behaviours may be described in terms of solutions for the system of effective equations for ($*$) which is a well posed semilinear stochastic heat equation with a non-local nonlinearity and a smooth additive noise, written in Fourier coefficients. The effective equations do not depend on the Hamiltonian part of the perturbation $-\mathrm{i}\gamma_{I}|u|^{2q}u$ (but depend on the dissipative part $-\gamma_{R}|u|^{2p}u$). If $p$ is an integer, they may be written explicitly.

Nous considérons l’équation de Schrödinger linéaire avec les conditions aux limites périodiques, perturbée par une force aléatoire et amortie par un terme quasi linéaire:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u+\mathrm{i}\bigl(-\Delta+V(x)\bigr)u=\nu\bigl(\Delta u-\gamma_{R}|u|^{2p}u-\mathrm{i}\gamma_{I}|u|^{2q}u\bigr)+\sqrt{\nu}\eta(t,x).\quad(\ast)\]

La force $\eta$ est un processus aléatoire blanc en temps $t$ et lisse en $x$; le potentiel $V(x)$ est typique. Nous étudions le comportement asymptotique des solutions sur de longs intervalles de temps $0\le t\le\nu^{-1}T$, quand $\nu\to0$, et le comportement des solutions quand $t\to\infty$ et $\nu\to0$. Nous démontrons qu’on peut décrire ces deux comportements asymptotiques en termes des solutions du système d’équations effectives pour ($*$). Ce dernier est une équation de la chaleur avec un terme quasi linéaire non local et une force aléatoire lisse additive, qui est écrite dans l’espace de Fourier. Les équations ne dépendent pas de la partie hamiltonienne de la perturbation $-\mathrm{i}\gamma_{I}|u|^{2q}u$ (mais elles dépendent de la partie dissipative $-\gamma_{R}|u|^{2p}u$). Si $p$ est un entier, on peut écrire ces équations explicitement.

In this article we prove the pathwise uniqueness for stochastic differential equations in $\mathbb{R}^{d}$ with time-dependent Sobolev drifts, and driven by symmetric $\alpha$-stable processes provided that $\alpha\in(1,2)$ and its spectral measure is non-degenerate. In particular, the drift is allowed to have jump discontinuity when $\alpha\in(\frac{2d}{d+1},2)$. Our proof is based on some estimates of Krylov’s type for purely discontinuous semimartingales.

Dans cet article nous prouvons l’existence et l’unicité d’équations différentielles stochastiques dans $\mathbb{R}^{d}$ avec terme de dérive dépendant du temps dans un espace de Sobolev et dirigées par un processus de Lévy $\alpha$-stable symétrique avec $\alpha\in(1,2)$ et de mesure spectrale non-dégénérée.

En particulier, le terme de dérive peut avoir des discontinuités de saut quand $\alpha\in(\frac{2d}{d+1},2)$. Notre preuve est basée sur des estimations de type Krylov pour des semimartingales purement discontinues.

We investigate the definition and measurability questions of random fractals with infinite branching, and find, under certain conditions, a formula for the upper and lower Minkowski dimensions. For the case of a random self-similar set we obtain the packing dimension.

Nous étudions les questions de la définition et de la mesurabilité des fractales aléatoires avec ramification infinie. Nous trouvons sous certaines conditions une formule pour les dimensions de Minkowski supérieure et inférieure. Pour un d’ensemble aléatoire auto-similaire nous obtenons la dimension.

First, noncompact Cantor sets along with their defining trees are introduced as a natural generalization of $p$-adic numbers. Secondly we construct a class of jump processes on a noncompact Cantor set from given pairs of eigenvalues and measures. At the same time, we have concrete expressions of the associated jump kernels and transition densities. Then we construct intrinsic metrics on noncompact Cantor set to obtain estimates of transition densities and jump kernels under some regularity conditions on eigenvalues and measures. Finally transient random walks on the defining tree are shown to induce a subclass of jump processes discussed in the second part.

Nous commençons par introduire des ensembles de Cantor non-compacts, ainsi que leurs arbres associés. Ils peuvent être considerés comme une généralisation naturelle des nombres $p$-adiques. Nous construisons ensuite une classe de processus de saut sur un ensemble de Cantor non-compact, à l’aide d’un couple de valeurs propres et de mesures. De plus, nous obtenons des expressions concrètes pour les noyaux de la chaleurs associés à ces processus de saut et pour les probabilités de transition correspondantes. Sous certaines hypothèses de régularité sur les valeurs propres et les mesures, nous construisons ensuite des métriques intrinsèques sur cet ensemble de Cantor non-compact afin d’obtenir des estimations fines sur les noyaux de la chaleur et les probabilités de transitions. Finalement, nous montrons que les marches aléatoires sur l’arbre définissant l’ensemble de Cantor non-compact induisent une sous-classe des processus de saut discutés dans la seconde partie de l’article.

In this paper, we study the size of the giant component $C_{G}$ in the random geometric graph $G=G(n,r_{n},f)$ of $n$ nodes independently distributed each according to a certain density $f(\cdot)$ in $[0,1]^{2}$ satisfying $\inf_{x\in[0,1]^{2}}f(x)>$ $0$. If $\frac{c_{1}}{n}\leq r_{n}^{2}\leq c_{2}\frac{\log{n}}{n}$ for some positive constants $c_{1}$, $c_{2}$ and $nr_{n}^{2}\longrightarrow\infty$ as $n\rightarrow\infty$, we show that the giant component of $G$ contains at least $n-\mathrm{o}(n)$ nodes with probability at least $1-\mathrm{e}^{-\beta nr^{2}_{n}}$ for all $n$ and for some positive constant $\beta$. We also obtain estimates on the diameter and number of the non-giant components of $G$.

Dans cet article nous étudions la composante principale $C_{G}$ dans le graphe géométrique aléatoire $G=G(n,r_{n},f)$ avec $n$ nœuds indépendants, chacun étant distribué selon une densité $f(\cdot)$ dans $[0,1]^{2}$ telle que $\inf_{x\in[0,1]^{2}}f(x)>$ $0$. Si $\frac{c_{1}}{n}\leq r_{n}^{2}\leq c_{2}\frac{\log{n}}{n}$ pour des constantes positives $c_{1}$, $c_{2}$ et $nr_{n}^{2}\longrightarrow\infty$ quand $n\rightarrow\infty$, nous montrons que la composante principale de $G$ contient au moins $n-\mathrm{o}(n)$ nœuds avec probabilité minorée par $1-\mathrm{e}^{-\beta nr^{2}_{n}}$ pour tout $n$ et pour une constante positive $\beta$. Nous obtenons aussi des estimations sur les diamètres et sur le nombre des plus petites composantes de $G$.

We consider the hexagonal circle packing with radius $1/2$ and perturb it by letting the circles move as independent Brownian motions for time $t$. It is shown that, for large enough $t$, if $\varPi_{t}$ is the point process given by the center of the circles at time $t$, then, as $t\to\infty$, the critical radius for circles centered at $\varPi_{t}$ to contain an infinite component converges to that of continuum percolation (which was shown – based on a Monte Carlo estimate – by Balister, Bollobás and Walters to be strictly bigger than $1/2$). On the other hand, for small enough $t$, we show (using a Monte Carlo estimate for a fixed but high dimensional integral) that the union of the circles contains an infinite connected component. We discuss some extensions and open problems.

Nous considérons une juxtaposition hexagonale de cercles de rayon $1/2$ et nous la perturbons en laissant les cercles évoluer comme des mouvements browniens indépendants pendant un temps $t$. Nous montrons que, pour $t$ suffisamment grand, si $\varPi_{t}$ est le processus de points donné par les centres des cercles au temps $t$, alors quand $t\to\infty$, le rayon critique pour que les cercles centrés en $\varPi_{t}$ contienne une composante infinie converge vers celui de la percolation continue (qui est strictement plus grand que $1/2$ comme l’ont montré Balister, Bollobás et Walters). D’un autre coté, pour $t$ suffisamment petit, nous montrons (à l’aide d’une estimation de Monte Carlo pour une intégrale de grande dimension) que l’union des cercles contient une composante infinie. Nous discutons aussi des généralisations et des problèmes ouverts.

Observations are made on a point process $\varXi$ in $\mathbb{R}^{d}$ in a window $Q_{\lambda}$ of volume ${\lambda}$. The observation, or ‘score’ at a point $x$, here denoted $\xi(x,\varXi)$, is a function of the points within a random distance of $x$. When the input $\varXi$ is a Poisson or binomial point process, the large ${\lambda}$ limit theory for the total score $\sum_{x\in\varXi\cap Q_{\lambda}}\xi(x,\varXi\cap Q_{\lambda})$, when properly scaled and centered, is well understood. In this paper we establish general laws of large numbers, variance asymptotics, and central limit theorems for the total score for Gibbsian input $\varXi$. The proofs use perfect simulation of Gibbs point processes to establish their mixing properties. The general limit results are applied to random sequential packing and spatial birth growth models, Voronoi and other Euclidean graphs, percolation models, and quantization problems involving Gibbsian input.

On observe un processus ponctuel $\varXi$ dans $\mathbb{R}^{d}$ dans une fenêtre $Q_{\lambda}$ de volume ${\lambda}$. L’observation en un point $x$ que l’on note $\xi(x,\varXi)$ est une fonction des points situés à une distance aléatoire de $x$. Quand $\varXi$ est un processus de Poisson ponctuel ou Binomial, la limite pour ${\lambda}$ grand de la somme totale $\sum_{x\in\varXi\cap Q_{\lambda}}\xi(x,\varXi\cap Q_{\lambda})$ (convenablement recentrée et normalisée) est bien comprise. Dans ce papier, nous étudions cette somme totale quand $\varXi$ est Gibbsien et prouvons la loi des grands nombres, la variance asymptotique et un théorème de la limite centrale. Les preuves reposent sur la simulation parfaite de processus ponctuels Gibbsiens pour établir leurs propriétés de mélange. Ces résultats généraux sont appliqués dans différents contextes comme des modèles de croissance et de percolation, des graphes de Voronoi et des problèmes de quantification pour des entrées Gibbsiennes.

In this article, we study the approximation of a probability measure $\mu$ on $\mathbb{R}^{d}$ by its empirical measure $\hat{\mu}_{N}$ interpreted as a random quantization. As error criterion we consider an averaged $p$th moment Wasserstein metric. In the case where $2p<d$, we establish fine upper and lower bounds for the error, a high resolution formula. Moreover, we provide a universal estimate based on moments, a Pierce type estimate. In particular, we show that quantization by empirical measures is of optimal order under weak assumptions.

Dans cet article, nous étudions l’approximation d’une mesure de probabilité $\mu$ sur $\mathbb{R}^{d}$ par sa mesure empirique $\hat{\mu}_{N}$, interprétée comme quantification aléatoire. Comme critère d’erreur, nous considérons une moyenne de métrique de Wasserstein d’ordre $p$. Dans le cas $2p<d$, nous établissons des bornes supérieures et inférieures améliorées pour l’erreur, une formule haute résolution. De plus, nous donnons une estimation universelle à base de moments, nomméee estimation du type Pierce. En particulier, nous prouvons que, sous de faibles hypothèses, la quantification par des mesures empiriques est d’ordre optimal.

This paper is devoted to the nonparametric estimation of the jump rate and the cumulative rate for a general class of non-homogeneous marked renewal processes, defined on a separable metric space. In our framework, the estimation needs only one observation of the process within a long time. Our approach is based on a generalization of the multiplicative intensity model, introduced by Aalen in the seventies. We provide consistent estimators of these two functions, under some assumptions related to the ergodicity of an embedded chain and the characteristics of the process. The paper is illustrated by a numerical example.

Ce papier est consacré à l’estimation non-paramétrique du taux de saut et du taux de saut cumulé pour une classe générale de processus de renouvellement marqués non-homogènes, définis sur un espace métrique séparable. Dans notre cadre de travail, l’estimation nécessite seulement une observation du processus en temps long. Notre approche est basée sur une généralisation du modèle à intensité multiplicative introduit par Aalen dans les années soixante-dix. Nous donnons des estimateurs consistants de ces deux fonctions, sous des hypothèses portant sur l’ergodicité d’une chaîne immergée et sur les caractéristiques du processus. Le papier est illustré par un exemple numérique.