The right tail exponent of the Tracy–Widom $\beta$ distribution

Abstract

The Tracy–Widom $\beta$ distribution is the large dimensional limit of the top eigenvalue of $\beta$ random matrix ensembles. We use the stochastic Airy operator representation to show that as $a\to\infty$ the tail of the Tracy–Widom distribution satisfies

\[P(\mathit{TW}_{\beta}>a)=a^{-(3/4)\beta+\mathrm{o}(1)}\exp\biggl(-\frac{2}{3}\beta a^{3/2}\biggr).\]

La loi de Tracy–Widom $\beta$ est la limite de la plus grande valeur propre des ensembles $\beta$ de matrices aléatoires lorsque leur taille tend vers l’infini. Nous utilisons la représentation par l’opérateur stochastique d’Airy pour montrer que lorsque $a\to\infty$ la queue de la loi de Tracy–Widom vérifie :

\[P(\mathit{TW}_{\beta}>a)=a^{-(3/4)\beta+\mathrm{o}(1)}\exp\biggl(-\frac{2}{3}\beta a^{3/2}\biggr).\]