Size of the giant component in a random geometric graph

Abstract

In this paper, we study the size of the giant component $C_{G}$ in the random geometric graph $G=G(n,r_{n},f)$ of $n$ nodes independently distributed each according to a certain density $f(\cdot)$ in $[0,1]^{2}$ satisfying $\inf_{x\in[0,1]^{2}}f(x)>$ $0$. If $\frac{c_{1}}{n}\leq r_{n}^{2}\leq c_{2}\frac{\log{n}}{n}$ for some positive constants $c_{1}$, $c_{2}$ and $nr_{n}^{2}\longrightarrow\infty$ as $n\rightarrow\infty$, we show that the giant component of $G$ contains at least $n-\mathrm{o}(n)$ nodes with probability at least $1-\mathrm{e}^{-\beta nr^{2}_{n}}$ for all $n$ and for some positive constant $\beta$. We also obtain estimates on the diameter and number of the non-giant components of $G$.

Dans cet article nous étudions la composante principale $C_{G}$ dans le graphe géométrique aléatoire $G=G(n,r_{n},f)$ avec $n$ nœuds indépendants, chacun étant distribué selon une densité $f(\cdot)$ dans $[0,1]^{2}$ telle que $\inf_{x\in[0,1]^{2}}f(x)>$ $0$. Si $\frac{c_{1}}{n}\leq r_{n}^{2}\leq c_{2}\frac{\log{n}}{n}$ pour des constantes positives $c_{1}$, $c_{2}$ et $nr_{n}^{2}\longrightarrow\infty$ quand $n\rightarrow\infty$, nous montrons que la composante principale de $G$ contient au moins $n-\mathrm{o}(n)$ nœuds avec probabilité minorée par $1-\mathrm{e}^{-\beta nr^{2}_{n}}$ pour tout $n$ et pour une constante positive $\beta$. Nous obtenons aussi des estimations sur les diamètres et sur le nombre des plus petites composantes de $G$.