Abstract
Take a centered random walk $S_{n}$ and consider the sequence of its partial sums $A_{n}:=\sum_{i=1}^{n}S_{i}$. Suppose $S_{1}$ is in the domain of normal attraction of an $\alpha$-stable law with $1<\alpha\le2$. Assuming that $S_{1}$ is either right-exponential (i.e. $\mathbb{P}(S_{1}>x|S_{1}>0)=\mathrm{e}^{-ax}$ for some $a>0$ and all $x>0$) or right-continuous (skip free), we prove that
\[\mathbb{P}\{A_{1}>0,\dots,A_{N}>0\}\sim C_{\alpha}N^{{1}/{(2\alpha)}-1/2}\]
as $N\to\infty$, where $C_{\alpha}>0$ depends on the distribution of the walk. We also consider a conditional version of this problem and study positivity of integrated discrete bridges.
Soit $S_{n}$ une marche aléatoire centrée, nous considérons la suite de ses sommes partielles $A_{n}:=\sum_{i=1}^{n}S_{i}$. Nous supposons que $S_{1}$ est dans le domaine d’attraction normale d’une loi $\alpha$-stable avec $1<\alpha\le2$. En supposant que $S_{1}$ est soit exponentielle à droite (i.e. $\mathbb{P}(S_{1}>x|S_{1}>0)=\mathrm{e}^{-ax}$), soit continue à droite (i.e. $\mathbb{P}(S_{1}=1|S_{1}>0)=1$), nous prouvons que
\[\mathbb{P}\{A_{1}>0,\dots,A_{N}>0\}\sim C_{\alpha}N^{{1}/{(2\alpha)}-1/2}\]
quand $N\to\infty$, où $C_{\alpha}>0$ dépend de la distribution de la marche. Nous considérons aussi une version conditionnelle de ce problème et nous étudions la positivité de ponts discrets intégrés.
Citation
Vladislav Vysotsky. "Positivity of integrated random walks." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 50 (1) 195 - 213, February 2014. https://doi.org/10.1214/12-AIHP487
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