In this article, we consider the following model of self-avoiding walk: the probability of a self-avoiding trajectory $\gamma$ between two points on the boundary of a finite subdomain of $\mathbb{Z}^{d}$ is proportional to $\mu^{-\mbox{length}(\gamma)}$. When $\mu$ is supercritical (i.e. $\mu<\mu_{c}$ where $\mu_{c}$ is the connective constant of the lattice), we show that the random trajectory becomes space-filling when taking the scaling limit.

Dans cet article, nous considérons le modèle suivant de marches auto-évitantes : la probabilité d’une trajectoire auto-évitante $\gamma$ entre deux points fixés d’un sous-domaine fini de $\mathbb{Z}^{d}$ est proportionnelle à $\mu^{-\mbox{length}(\gamma)}$. Lorsque le paramètre $\mu$ est supercritique (i.e. $\mu<\mu_{c}$ ou $\mu_{c}$ est la constante de connectivité du réseau), nous prouvons que la trajectoire aléatoire remplit l’espace lorsque l’on considère la limite d’échelle du modèle.

We consider a catalytic branching random walk on $\mathbb{Z} $ that branches at the origin only. In the supercritical regime we establish a law of large number for the maximal position $M_{n}$: For some constant $\alpha$, $\frac{M_{n}}{n}\to\alpha$ almost surely on the set of infinite number of visits of the origin. Then we determine all possible limiting laws for $M_{n}-\alpha n$ as $n$ goes to infinity.

Nous considérons une marche aléatoire branchant catalytique sur $\mathbb{Z} $ qui ne branche qu’à l’origine. Dans le cas surcritique, nous établissons une loi des grands nombres pour la position maximale $M_{n}$ : Il existe une constante $\alpha$ explicite telle que $\frac{M_{n}}{n}\to\alpha$ presque sûrement sur l’ensemble des trajectoires pour lesquelles l’origine est visitée une infinité de fois.

Ensuite, nous déterminons toutes les lois limites possibles, lorsque $n\to+\infty$, pour la suite $M_{n}-\alpha n$.

We study a continuous time random walk $X$ in an environment of dynamic random conductances in $\mathbb{Z}^{d}$. We assume that the conductances are stationary ergodic, uniformly bounded and bounded away from zero and polynomially mixing in space and time. We prove a quenched invariance principle for $X$, and obtain Green’s functions bounds and a local limit theorem. We also discuss a connection to stochastic interface models.

Nous étudions une chaîne de Markov en temps continu $X$ dans un environnement dynamique de conductances aléatoires dans $\mathbb{Z}^{d}$. Nous supposons que les conductances sont stationnaires ergodiques, uniformément positives et polynomialement mélangeantes en espace et en temps. Nous montrons un principe d’invariance << quenched >> pour $X$, et nous obtenons des bornes sur les fonctions de Green et un théorème limite local. Nous discutons aussi les liens avec les modèles d’interfaces aléatoires.

We consider random walks in strong-mixing random Gibbsian environments in $\mathbb{Z}^{d}$, $d\ge2$. Based on regeneration arguments, we will first provide an alternative proof of Rassoul-Agha’s conditional law of large numbers (CLLN) for mixing environment (Electron. Commun. Probab. 10 (2005) 36–44). Then, using coupling techniques, we show that there is at most one nonzero limiting velocity in high dimensions ($d\ge5$).

Nous considérons des marches aléatoires dans un environnement Gibbsien fortement mélangeant dans $\mathbb{Z}^{d}$, $d\ge2$. A l’aide d’arguments de renouvellement, nous donnons d’abord une preuve alternative de la loi conditionnelle des grands nombres de Rassoul-Agha (Electron. Commun. Probab. 10 (2005) 36–44) pour des environnements mélangeants. Ensuite, par des méthodes de couplage, nous montrons qu’il existe au plus une vitesse limite non nulle en grande dimension ($d\ge5$).

We prove quenched hydrodynamic limit under hyperbolic time scaling for bounded attractive particle systems on $\mathbb{Z}$ in random ergodic environment. Our result is a strong law of large numbers, that we illustrate with various examples.

Nous obtenons la limite hydrodynamique trempée, sous un changement d’échelle hyperbolique, pour un système de particules attractif sur $\mathbb{Z}$ en milieu aléatoire ergodique, avec un nombre borné de particules par site. Notre résultat est une loi forte des grands nombres. Nous l’illustrons sur différents exemples.

We introduce and investigate a new model of a finite number of particles jumping forward on the real line. The jump lengths are independent of everything, but the jump rate of each particle depends on the relative position of the particle compared to the center of mass of the system. The rates are higher for those left behind, and lower for those ahead of the center of mass, providing an attractive interaction keeping the particles together. We prove that in the fluid limit, as the number of particles goes to infinity, the evolution of the system is described by a mean field equation that exhibits traveling wave solutions. A connection to extreme value statistics is also provided.

Nous introduisons et étudions un nouveau modèle comprenant un nombre fini de particules situées sur la droite réelle et pouvant effectuer des sauts vers la droite. Les longueurs des sauts sont indépendantes du reste, mais le taux de saut de chaque particule dépend de la position relative de la particule par rapport au centre de masse du système. Les taux sont plus grands pour celles qui sont en retard, et plus petits pour celles qui sont en avance par rapport au centre de masse; cela crée ainsi une interaction attractive qui favorise la cohésion des particules. Nous montrons qu’à la limite fluide, lorsque le nombre de particules tend vers l’infini, l’évolution du système est décrite par une équation de champ moyen ayant des solutions d’ondes progressives. On présente également un lien avec les statistiques des valeurs extrêmes.

Let us consider the simplest model of one-dimensional probabilistic cellular automata (PCA). The cells are indexed by the integers, the alphabet is $\{0,1\}$, and all the cells evolve synchronously. The new content of a cell is randomly chosen, independently of the others, according to a distribution depending only on the content of the cell itself and of its right neighbor. There are necessary and sufficient conditions on the four parameters of such a PCA to have a Bernoulli product invariant measure. We study the properties of the random field given by the space–time diagram obtained when iterating the PCA starting from its Bernoulli product invariant measure. It is a non-trivial random field with very weak dependences and nice combinatorial properties. In particular, not only the horizontal lines but also the lines in any other direction consist of i.i.d. random variables. We study extensions of the results to Markovian invariant measures, and to PCA with larger alphabets and neighborhoods.

Considérons le modèle le plus simple d’automates cellulaires probabilistes (ACP) de dimension $1$. Les cellules sont indexées par les entiers relatifs, l’alphabet est $\{0,1\}$, et toutes les cellules évoluent de manière synchrone. Le nouveau contenu d’une cellule est choisi aléatoirement, indépendamment des autres, selon une distribution dépendant seulement du contenu de la cellule et de sa voisine de droite. On connaît des conditions nécessaires et suffisantes portant sur les quatre paramètres d’un tel ACP pour qu’il ait la mesure produit de Bernoulli comme mesure invariante. Nous étudions les propriétés du champ aléatoire formé par le diagramme espace-temps obtenu lorsqu’on itère l’ACP à partir de sa mesure invariante de Bernoulli. Il s’agit d’un champ aléatoire non trivial, présentant de très faibles dépendances et de jolies propriétés combinatoires. En particulier, les lignes horizontales mais aussi les lignes selon les autres directions sont constituées de variables aléatoires i.i.d. Nous étudions l’extension de ces résultats à des mesures invariantes de forme markovienne, ainsi qu’aux ACP ayant des alphabets et des voisinages plus grands.

We consider a homogeneous fragmentation process with killing at an exponential barrier. With the help of two families of martingales we analyse the decay of the largest fragment for parameter values that allow for survival. In this respect the present paper is also concerned with the probability of extinction of the killed process.

Nous considérons un processus de fragmentation homogène tué à une barrière exponentielle. À l’aide de deux familles de martingales nous analysons la décroissance du plus gros fragment pour des valeurs des paramètres permettant la survie du système. Cet article traite aussi de la probabilité d’extinction du processus tué.

We consider regenerative processes with values in some general Polish space. We define their $\varepsilon$-big excursions as excursions $e$ such that $\varphi(e)>\varepsilon$, where $\varphi$ is some given functional on the space of excursions which can be thought of as, e.g., the length or the height of $e$. We establish a general condition that guarantees the convergence of a sequence of regenerative processes involving the convergence of $\varepsilon$-big excursions and of their endpoints, for all $\varepsilon$ in a set whose closure contains $0$. Finally, we provide various sufficient conditions on the excursion measures of this sequence for this general condition to hold and discuss possible generalizations of our approach to processes that can be written as the concatenation of i.i.d. motifs.

Nous considérons des processus régénératifs à valeurs dans un espace polonais quelconque. Nous définissons leurs excursions $\varepsilon$-grandes comme les excursions $e$ telles que $\varphi(e)>\varepsilon$, où $\varphi$ est une fonctionnelle donnée sur l’espace des excursions, qui peut par exemple être la longueur ou la hauteur de $e$. Nous établissons une condition générale garantissant la convergence d’une suite de processus régénératifs, qui porte sur la convergence des excursions $\varepsilon$-grandes et de leurs extrémités, pour tout $\varepsilon$ dans un ensemble dont l’adhérence contient $0$. Enfin, nous donnons plusieurs conditions suffisantes sur les mesures d’excursion de cette suite pour que cette condition générale soit satisfaite, et nous discutons de possibles généralisations de notre approche à certains processus pouvant être écrits comme la concaténation de motifs i.i.d.

Given a two-dimensional fractional multiplicative process $(F_{t})_{t\in[0,1]}$ determined by two Hurst exponents $H_{1}$ and $H_{2}$, we show that there is an associated uniform Hausdorff dimension result for the images of subsets of $[0,1]$ by $F$ if and only if $H_{1}=H_{2}$.

Etant donné un processus multiplicatif fractionnaire bi-dimensionnel $(F_{t})_{t\in[0,1]}$ déterminé par deux exposants de Hurst $H_{1}$ et $H_{2}$, nous montrons l’existence d’un résultat uniforme pour la dimension de Hausdorff des images des sous-ensembles de $[0,1]$ par $F$ si et seulement si $H_{1}=H_{2}$.

We study minimal supersolutions of backward stochastic differential equations. We show the existence and uniqueness of the minimal supersolution, if the generator is jointly lower semicontinuous, bounded from below by an affine function of the control variable, and satisfies a specific normalization property. Semimartingale convergence is used to establish the main result.

Nous étudions des sur-solutions minimales d’équations stochastiques rétrogrades. Nous montrons l’existence et l’unicité de telles sur-solutions minimales lorsque le générateur est conjointement semi-continu inférieurement, minoré par une fonction affine de la variable de contrôle et satisfait une condition spécifique de normalisation. Le résultat principal est obtenu en utilisant une convergence de semi-martingales.

In this work, we provide non-asymptotic bounds for the average speed of convergence of the empirical measure in the law of large numbers, in Wasserstein distance. We also consider occupation measures of ergodic Markov chains. One motivation is the approximation of a probability measure by finitely supported measures (the quantization problem). It is found that rates for empirical or occupation measures match or are close to previously known optimal quantization rates in several cases. This is notably highlighted in the example of infinite-dimensional Gaussian measures.

Dans ce travail, on exhibe des bornes non asymptotiques pour la vitesse de convergence en moyenne de la mesure empirique dans la loi des grands nombres, en distance de Wasserstein. On considère également la mesure d’occupation d’une chaîne de Markov ergodique. L’une des motivations est l’approximation d’une mesure de probabilité par des mesures à support fini (le problème de la quantification). On détermine que les taux de convergence des mesures empiriques ou des mesures d’occupation correspondent dans plusieurs cas aux taux de quantification optimale déjà établis par ailleurs. Ce fait est notamment établi pour des mesures gaussiennes dans des espaces de dimension infinie.

In this paper, we are interested in a diffusion process based on a gradient descent. The process is non Markov and has a memory term which is built as a weighted average of the drift term all along the past of the trajectory. For this type of diffusion, we study the long time behaviour of the process in terms of the memory. We exhibit some conditions for the long-time stability of the dynamical system and then provide, when stable, some convergence properties of the occupation measures and of the marginal distribution, to the associated steady regimes. When the memory is too long, we show that in general, the dynamical system has a tendency to explode, and in the particular Gaussian case, we explicitly obtain the rate of divergence.

Nous nous intéressons dans ce travail à une diffusion issue d’une descente de gradient, dont le terme de dérive utilise une mémoire sur le passé de la trajectoire. Le processus ainsi introduit est non-Markovien. Nous étudions les propriétés de stabilité et de convergence à l’équilibre des mesures d’occupation des trajectoires. Dans les situations stables, nous donnons des vitesses de convergence à la stationnarité alors que dans les cas où la mémoire possède une longue portée, nous prouvons l’explosion du système dynamique. Nous exhibons enfin des formules précises dans le cas gaussien.

For a branching process in random environment it is assumed that the offspring distribution of the individuals varies in a random fashion, independently from one generation to the other. For the subcritical regime a kind of phase transition appears. In this paper we study the intermediately subcritical case, which constitutes the borderline within this phase transition. We study the asymptotic behavior of the survival probability. Next the size of the population and the shape of the random environment conditioned on non-extinction is examined. Finally we show that conditioned on non-extinction periods of small and large population sizes alternate. This kind of ‘bottleneck’ behavior appears under the annealed approach only in the intermediately subcritical case.

Nous considérons un processus de branchement dans un environnement aléatoire dont la distribution des enfants des individus varie aléatoirement de façon indépendante d’une génération à l’autre. Dans le régime sous critique, une transition de phase apparaît. Cet article est consacré à l’étude de la région proche de la transition. Nous étudions le comportement asymptotique de la probabilité de survie ainsi que la taille de la population et la forme de l’environnement aléatoire sous la condition de non-extinction. Nous montrons finalement que conditionnée à la non-extinction, la population alterne des périodes de petite et de grande taille. Ce type de comportement apparaît sous la mesure moyennée uniquement dans ce régime sous critique proche de la transition.

Let $m\geq3$ be an integer. The so-called $m$-ary search tree is a discrete time Markov chain which is very popular in theoretical computer science, modelling famous algorithms used in searching and sorting. This random process satisfies a well-known phase transition: when $m\leq26$, the asymptotic behavior of the process is Gaussian, but for $m\geq27$ it is no longer Gaussian and a limit $W^{DT}$ of a complex-valued martingale arises.

In this paper, we consider the multitype branching process which is the continuous time version of the $m$-ary search tree. This process satisfies a phase transition of the same kind. In particular, when $m\geq27$, a limit $W$ of a complex-valued martingale intervenes in its asymptotics. Thanks to the branching property, the law of $W$ satisfies a smoothing equation of the type $Z\stackrel{ \mathcal{L}}{=}\mathrm{e}^{-\lambda T}(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(m)})$, where $\lambda$ is a particular complex number, $Z^{(k)}$ are independent complex-valued random variables having the same law as $Z$, $T$ is a $\mathbb{R}_{+}$-valued random variable independent of the $Z^{(k)}$, and $\stackrel{ \mathcal{L}}{=}$ denotes equality in law. This distributional equation is extensively studied by various approaches. The existence and uniqueness of solution of the equation are proved by contraction methods. The fact that the distribution of $W$ is absolutely continuous and that its support is the whole complex plane is shown via Fourier analysis. Finally, the existence of exponential moments of $W$ is obtained by considering $W$ as the limit of a complex Mandelbrot cascade.

Soit $m\geq3$ un entier. Très populaire en informatique fondamentale, l’arbre $m$-aire de recherche est une chaîne de Markov à temps discret qui modélise de célèbres algorithmes de tri et de recherche de données. Ce processus aléatoire vérifie une transition de phase bien connue : lorsque $m\leq26$, le comportement asymptotique du processus est gaussien. En revanche, lorsque $m\geq27$, il n’est plus gaussien et fait apparaître la limite $W^{DT}$ d’une martingale à valeurs complexes.

Dans cet article, on considère le processus de branchement multitype qui est le plongement en temps continu de l’arbre $m$-aire de recherche. Ce processus fait l’objet d’une transition de phase du même type. En particulier, lorsque $m\ge27$, son asymptotique s’exprime à l’aide de la limite $W$ d’une martingale complexe. Grâce à la propriété de branchement, la loi de $W$ est solution d’une équation en distribution du type $Z\stackrel{ \mathcal{L}}{=}\mathrm{e}^{-\lambda T}(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(m)})$ où $\lambda$ est un nombre complexe particulier, les $Z^{(k)}$ sont des variables aléatoires complexes indépendantes dont la loi est celle de $Z$, $T$ est une variable aléatoire réelle positive indépendante des $Z^{(k)}$, et $\stackrel{ \mathcal{L}}{=}$ désigne l’égalité en distribution. On étudie cette équation en loi par des approches variées. L’existence et l’unicité de solutions sont prouvées par des méthodes de contraction. L’absolue continuité de $W$ et le fait que son support soit le plan complexe tout entier sont démontrés par analyse de Fourier. Enfin, on obtient l’existence de moments exponentiels en considérant $W$ comme la limite d’une cascade de Mandelbrot à valeurs complexes.

Let $\{X_{ij}\}$, $i,j=\cdots$, be a double array of independent and identically distributed (i.i.d.) real random variables with $EX_{11}=\mu$, $E|X_{11}-\mu|^{2}=1$ and $E|X_{11}|^{4}<\infty$. Consider sample covariance matrices (with/without empirical centering) $\mathcal{S}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{s}_{j}-\bar{\mathbf{s}})(\mathbf{s}_{j}-\bar{\mathbf{s}})^{T}$ and $\mathbf{S} =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{s}_{j}\mathbf{s}_{j}^{T}$, where $\bar{\mathbf{s}}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{s}_{j}$ and $\mathbf{s}_{j}=\mathbf{T} _{n}^{1/2}(X_{1j},\ldots,X_{pj})^{T}$ with $(\mathbf{T} _{n}^{1/2})^{2}=\mathbf{T} _{n}$, non-random symmetric non-negative definite matrix. It is proved that central limit theorems of eigenvalue statistics of $\mathcal{S}$ and $\mathbf{S} $ are different as $n\rightarrow\infty$ with $p/n$ approaching a positive constant. Moreover, it is also proved that such a different behavior is not observed in the average behavior of eigenvectors.

Soit $\{X_{ij}\}$, $i,j=1,2,\ldots$, un tableau à double entrées, les $X_{ij}$ étant des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et où $\mathbf{E} X_{11}=\mu$, $\mathbf{E} \vert X_{11}-\mu\vert ^{2}=1$ et $\mathbf{E} |X_{11}|^{4}<\infty$. Considérons les matrices de covariances empiriques suivantes (avec/sans centrage empirique): $\mathcal{S}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}(\mathbf{s} _{j}-\bar{ \mathbf {s}})(\mathbf{s} _{j}-\bar{ \mathbf {s}})^{T}$ et $\mathbf{S}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}\mathbf{s} _{j}\mathbf{s} _{j}^{T}$, avec $\bar{ \mathbf {s}}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}\mathbf{s} _{j}$ et $\mathbf{s} _{j}=\mathbf{T}^{1/2}_{n}(X_{1j},\ldots,X_{pj})^{T}$, où $(\mathbf{T}^{1/2}_{n})^{2}=\mathbf{T}_{n}$ est une matrice déterministe définie positive. Nous démontrons que, sous le régime asymptotique $n\rightarrow\infty$ et $p/n$ converge vers une constante positive, le théorème central limite pour la statistique $\mathcal{S}$ est différent de celui concernant la statistique $\mathbf{S}$. En outre, nous montrons que cette différence de comportement n’est pas observée pour le comportement moyen des vecteurs propres.

Relative dimensions of isotypic components of $N$th order tensor representations of the symmetric group on $n$ letters give a Plancherel-type measure on the space of Young diagrams with $n$ cells and at most $N$ rows. It was conjectured by G. Olshanski that dimensions of isotypic components of tensor representations of finite symmetric groups, after appropriate normalization, converge to a constant with respect to this family of Plancherel-type measures in the limit when $\frac{N}{\sqrt{n}}$ converges to a constant. The main result of the paper is the proof of this conjecture.

Les dimensions relatives des composants isotypiques des représentations tensorielles du $N$^ième ordre du groupe symétrique sur $n$ lettres induisent une mesure du type Plancherel sur l’espace des diagrammes de Young avec $n$ cellules et au plus $N$ rangs. G. Olshanski a conjecturé que ces dimensions, après renormalisation, convergent vers une constante sous cette famille de mesures du type Plancherel dans la limite où $\frac{N}{\sqrt{n}}$ converge vers une constante. Le principal résultat de cet article est la preuve de cette conjecture.