Extremal points of high-dimensional random walks and mixing times of a Brownian motion on the sphere

Abstract

We derive asymptotics for the probability that the origin is an extremal point of a random walk in $\mathbb{R}^{n}$. We show that in order for the probability to be roughly $1/2$, the number of steps of the random walk should be between $\mathrm{e}^{n/(C\log n)}$ and $\mathrm{e}^{Cn\log n}$ for some constant $C>0$. As a result, we attain a bound for the $\frac{\pi}{2}$-covering time of a spherical Brownian motion.

Nous étudions le comportement asymptotique de la probabilité que l’origine soit un point extrémal d’une marche aléatoire dans $\mathbb{R}^{n}$. Nous montrons que cette probabilité est proche de $1/2$ si le nombre de pas de la marche aléatoire est entre $\mathrm{e}^{n/(C\log n)}$ et $\mathrm{e}^{Cn\log n}$ pour une certaine constante $C>0$. Comme corollaire, nous obtenons une borne pour le temps de $\frac{\pi}{2}$-recouvrement d’un mouvement brownien sphérique.