Let {b_H(t), t∈ℝ} be the fractional Brownian motion with parameter 0<H<1. When 1/2<H, we consider diffusion equations of the type $$X(t)=c+∫_0^tσ(X(u)) \mathrm{d}b_H(u)+∫_0^tμ(X(u)) \mathrm{d}u.$$ In different particular models where σ(x)=σ or σ(x)=σ x and μ(x)=μ or μ(x)=μ x, we propose a central limit theorem for estimators of H and of σ based on regression methods. Then we give tests of the hypothesis on σ for these models. We also consider functional estimation on σ(⋅) in the above more general models based in the asymptotic behavior of functionals of the 2nd-order increments of the fBm.

Soit {b_H(t), t∈ℝ} le mouvement Brownien fractionnaire de paramètre 0<H<1. Lorsque 1/2<H, nous considérons des équations de diffusion de la forme $$X(t)=c+∫_0^tσ(X(u)) \mathrm{d}b_H(u)+∫_0^tμ(X(u)) \mathrm{d}u.$$ Nous proposons dans des modèles particuliers où, σ(x)=σ ou σ(x)=σ x et μ(x)=μ ou μ(x)=μ x, un théorème central limite pour des estimateurs de H et de σ, obtenus par une méthode de régression. Ensuite, pour ces modèles, nous proposons des tests d’hypothèses sur σ. Enfin, dans les modèles plus généraux ci-dessus nous proposons des estimateurs fonctionnels pour la fonction σ(⋅) dont les propriétés sont obtenues via la convergence de fonctionnelles des accroissements doubles du mBf.

For a finite measure $Λ$ on $[0, 1]$, the $Λ$-coalescent is a coalescent process such that, whenever there are $b$ clusters, each $k$-tuple of clusters merges into one at rate $∫_0^1x^{k−2}(1−x)^{b−k}Λ(\mathrm{d}x)$. It has recently been shown that if $1<α<2$, the $Λ$-coalescent in which $Λ$ is the Beta $(2−α, α)$ distribution can be used to describe the genealogy of a continuous-state branching process (CSBP) with an $α$-stable branching mechanism. Here we use facts about CSBPs to establish new results about the small-time asymptotics of beta coalescents. We prove an a.s. limit theorem for the number of blocks at small times, and we establish results about the sizes of the blocks. We also calculate the Hausdorff and packing dimensions of a metric space associated with the beta coalescents, and we find the sum of the lengths of the branches in the coalescent tree, both of which are determined by the behavior of coalescents at small times. We extend most of these results to other $Λ$-coalescents for which $Λ$ has the same asymptotic behavior near zero as the Beta $(2−α, α)$ distribution. This work complements recent work of Bertoin and Le Gall, who also used CSBPs to study small-time properties of $Λ$-coalescents.

L’objet de ce travail est l’étude du comportement asymptotique en temps petit des Beta-coalescents. Ces processus décrivent la limite d’échelle de la généalogie d’un certain nombre de modèles en génétique des populations. Nous donnons en particulier un théorème de convergence presque sûre pour le nombre de blocs renormalisé. Nous décrivons également le comportement asymptotique des tailles des blocs. Ces résultats permettent de calculer la dimension de Hausdorff et la dimension de packing d’un espace métrique associé à ce type de coalescents, ainsi que la longueur totale des branches de l’arbre de coalescence. Ce dernier résultat correspond à une question qui se pose en génétique des populations. Enfin, ces résultats sont en partie étendus par des arguments de couplage aux cas de $Λ$-coalescents pour lesquels la mesure $Λ$ a un comportement près de 0 semblable à celui d’une distribution Beta. Les méthodes employées reposent essentiellement sur un lien entre Beta-coalescent et les processus de branchement à espace d’état continu.

This paper studies limit theorems for Markov chains with general state space under conditions which imply subgeometric ergodicity. We obtain a central limit theorem and moderate deviation principles for additive not necessarily bounded functional of the Markov chains under drift and minorization conditions which are weaker than the Foster–Lyapunov conditions. The regeneration-split chain method and a precise control of the modulated moment of the hitting time to small sets are employed in the proof.

Nous établissons dans ce papier des théorèmes limites pour des chaînes de Markov à espace d’état général sous des conditions impliquant l’ergodicité sous géométrique. Sous des conditions de dérive et de minorisation plus faibles que celles de Foster–Lyapounov, nous obtenons un théorème de limite centrale et un principe de déviation modérée pour des fonctionnelles additives non nécessairement bornées de la chaîne de Markov. La preuve repose sur la méthode de régénération et un contrôle précis du moment modulé de temps d’atteinte d’ensembles petits.

Let X be the unique normal martingale such that X₀=0 and

d[X]_t=(1−t−X_t−) dX_t+dt

and let Y_t:=X_t+t for all t≥0; the semimartingale Y arises in quantum probability, where it is the monotone-independent analogue of the Poisson process. The trajectories of Y are examined and various probabilistic properties are derived; in particular, the level set {t≥0: Y_t=1} is shown to be non-empty, compact, perfect and of zero Lebesgue measure. The local times of Y are found to be trivial except for that at level 1; consequently, the jumps of Y are not locally summable.

Soit X l’unique martingale normale telle que X₀=0 et

d[X]_t=(1−t−X_t−) dX_t+dt

et soit Y_t:=X_t+t pour tout t≥0; la semimartingale Y se manifeste dans la théorie des probabilités quantiques, où c’est analogue du processus de Poisson pour l’indépendance monotone. Les trajectoires de Y sont examinées et diverses propriétés probabilistes sont déduites; en particulier, l’ensemble de niveau {t≥0: Y_t=1} est montré être non vide, compact, parfait et de mesure de Lebesgue nulle. Les temps locaux de Y sont trouvés être triviaux sauf celui au niveau 1; par conséquent les sauts de Y ne sont pas localements sommables.

Soit Q une probabilité de transition sur un espace mesurable E, admettant une probabilité invariante, soit (X_n)_n une chaîne de Markov associée à Q, et soit ξ une fonction réelle mesurable sur E, et $S_n=\sum^n_{k=1}ξ(X_k)$. Sous des hypothèses fonctionnelles sur l’action de Q et des noyaux de Fourier Q(t), nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème limite central pour la suite $(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}})_{n}$. Selon les hypothèses nous obtenons une vitesse en n^−τ/2 pour tout τ<1, ou bien en n^−1/2. Nous appliquons la méthode de Nagaev en l’améliorant, d’une part grâce à un théorème de perturbations de Keller et Liverani, d’autre part grâce à une majoration de $|\mathbb{E}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}t{S_{n}}/{\sqrt{n}}}]-\mathrm{e}^{{-t^{2}}/{2}}|$ obtenue par une méthode de réduction en différence de martingale. Lorsque E est non compact ou ξ est non bornée, les conditions requises ici sur Q(t) (en substance, des conditions de moment sur ξ) sont plus faibles que celles habituellement imposées lorsqu’on utilise le théorème de perturbation standard. Par exemple, dans le cadre des chaînes V-géométriquement ergodiques ou des modèles itératifs Lipschitziens, on obtient dans le t.l.c. une vitesse en n^−1/2 sous une hypothèse de moment d’ordre 3 sur ξ.

Let Q be a transition probability on a measurable space E which admits an invariant probability measure, let (X_n)_n be a Markov chain associated to Q, and let ξ be a real-valued measurable function on E, and $S_n=\sum^n_{k=1}ξ(X_k)$. Under functional hypotheses on the action of Q and the Fourier kernels Q(t), we investigate the rate of convergence in the central limit theorem for the sequence $(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}})_{n}$. According to the hypotheses, we prove that the rate is, either O(n^−τ/2) for all τ<1, or O(n^−1/2). We apply the spectral Nagaev’s method which is improved by using a perturbation theorem of Keller and Liverani, and a majoration of $|\mathbb{E}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}t{S_{n}}/{\sqrt{n}}}]-\mathrm{e}^{{-t^{2}}/{2}}|$ obtained by a method of martingale difference reduction. When E is not compact or ξ is not bounded, the conditions required here on Q(t) (in substance, some moment conditions on ξ) are weaker than the ones usually imposed when the standard perturbation theorem is used in the spectral method. For example, in the case of V-geometric ergodic chains or Lipschitz iterative models, the rate of convergence in the c.l.t. is O(n^−1/2) under a third moment condition on ξ.

Pólya processes are natural generalizations of Pólya–Eggenberger urn models. This article presents a new approach of their asymptotic behaviour via moments, based on the spectral decomposition of a suitable finite difference transition operator on polynomial functions. Especially, it provides new results for large processes (a Pólya process is called small when 1 is a simple eigenvalue of its replacement matrix and when any other eigenvalue has a real part ≤1/2; otherwise, it is called large).

Les processus de Pólya sont une généralisation naturelle des modèles d’urnes de Pólya–Eggenberger. Cet article présente une nouvelle approche de leur comportement asymptotique via les moments, basée sur la décomposition spectrale d’un opérateur aux différences finies sur des espaces de polynômes. En particulier, elle fournit de nouveaux résultats sur les grands processus (un processus de Pólya est dit petit lorsque 1 est valeur propre simple de sa matrice de remplacement et lorsque toutes les autres valeurs propres ont une partie réelle ≤1/2 ; sinon, on dit qu’il est grand).

The aim of this paper is to compare various criteria leading to the central limit theorem and the weak invariance principle. These criteria are the martingale-coboundary decomposition developed by Gordin in Dokl. Akad. Nauk SSSR 188 (1969), the projective criterion introduced by Dedecker in Probab. Theory Related Fields 110 (1998), which was subsequently improved by Dedecker and Rio in Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 36 (2000) and the condition introduced by Maxwell and Woodroofe in Ann. Probab. 28 (2000) later improved upon by Peligrad and Utev in Ann. Probab. 33 (2005). We prove that in every ergodic dynamical system with positive entropy, if we consider two of these criteria, we can find a function in $\mathbb{L}^{2}$ satisfying the first but not the second.

Le but de cet article est de comparer différents critères conduisant au théoreme limite centrale et au principe d’invariance faible. Ces critères sont la décomposition martingale-cobord développée par Gordin dans Dokl. Akad. Nauk SSSR 188 (1969), le critère projectif introduit par Dedecker dans Probab. Theory Related Fields 110 (1998), par la suite amélioré par Dedecker et Rio dans Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 36 (2000) et la condition introduite par Maxwell et Woodroofe dans Ann. Probab. 28 (2000), plus tard améliorée par Peligrad et Utev dans Ann. Probab. 33 (2005). On montre que dans tout système dynamique ergodique d’entropie strictement positive, si l’on considère deux de ces critères, on peut trouver une fonction dans $\mathbb{L}^{2}$ vérifiant le premier mais pas le deuxième.

For a sequence of i.i.d. random variables {ξ_x: x∈ℤ} bounded above and below by strictly positive finite constants, consider the nearest-neighbor one-dimensional simple exclusion process in which a particle at x (resp. x+1) jumps to x+1 (resp. x) at rate ξ_x. We examine a quenched non-equilibrium central limit theorem for the position of a tagged particle in the exclusion process with bond disorder {ξ_x: x∈ℤ}. We prove that the position of the tagged particle converges under diffusive scaling to a Gaussian process if the other particles are initially distributed according to a Bernoulli product measure associated to a smooth profile ρ₀ : ℝ→[0, 1].

Soit {ξ_x: x∈ℤ} une suite de variables aléatoires i.i.d. bornées supérieurement et inférieurement par des constantes finies et strictement positives. Nous étudions le théorème central limite “quenched” pour la position d’une particule marquée dans l’exclusion simple symmétrique unidimensionnelle où les variables d’occupation des sites x et x+1 sont échangés à taux ξ_x. Nous démontrons que la position de la particule marquée converge à l’échelle diffusive vers un processus Gaussien si les particules sont initiallement distribuées d’après une mesure de Bernoulli associée à un profil lisse ρ₀ : ℝ→[0, 1].

The normalised volume measure on the ℓⁿ_p unit ball (1≤p≤2) satisfies the following isoperimetric inequality: the boundary measure of a set of measure a is at least cn^1/pãlog^1−1/p(1/ã), where ã=min(a, 1−a).

Nous prouvons une inégalité isopérimétrique pour la mesure uniforme V_p,n sur la boule unité de ℓⁿ_p (1≤p≤2). Si V_p,n(A)=a, alors V⁺_p,n(A)≥cn^1/pãlog^1−1/p1/ã, où V⁺_p,n est la mesure de surface associée à V_p,n, ã=min(a, 1−a) et c est une constante absolue.

En particulier, les boules unités de ℓⁿ_p vérifient la conjecture de Kannan–Lovász–Simonovits (Discrete Comput. Geom. 13 (1995)) sur la constante de Cheeger d’un corps convexe isotrope.

La démonstration s’appuie sur les inégalités isopérimétriques de Bobkov (Ann. Probab. 27 (1999)) et de Barthe–Cattiaux–Roberto (Rev. Math. Iberoamericana 22 (2006)), et utilise la représentation de V_p,n établie par Barthe–Guédon–Mendelson–Naor (Ann. Probab. 33 (2005)) ainsi qu’un argument de découpage.

We consider the nearest-neighbor simple random walk on ℤ^d, d≥2, driven by a field of bounded random conductances ω_xy∈[0, 1]. The conductance law is i.i.d. subject to the condition that the probability of ω_xy>0 exceeds the threshold for bond percolation on ℤ^d. For environments in which the origin is connected to infinity by bonds with positive conductances, we study the decay of the 2n-step return probability $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$. We prove that $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$ is bounded by a random constant times n^−d/2 in d=2, 3, while it is o(n⁻²) in d≥5 and O(n⁻²log n) in d=4. By producing examples with anomalous heat-kernel decay approaching 1/n², we prove that the o(n⁻²) bound in d≥5 is the best possible. We also construct natural n-dependent environments that exhibit the extra log n factor in d=4.

On considère la marche aléatoire aux plus proches voisins dans ℤ^d, d≥2, dont les transitions sont données par un champ de conductances aléatoires bornées ω_xy∈[0, 1]. La loi de conductance est iid sur les arêtes, et telle que la probabilité que ω_xy>0 soit supérieure au seuil de percolation (par arêtes) sur ℤ^d. Pour les environnements dont l’origine est connectée à l’infini à l’aide d’arêtes à conductances positives, on étudie l’asymptotique de la probabilité de retour à l’instant 2n : $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$. On prouve que $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$ est borné par Cn^−d/2 pour d=2, 3 (où C est une constante aléatoire) alors que c’est en o(n⁻²) pour d≥5 et O(n⁻²log n) pour d=4. En construisant des exemples dont les noyaux de la chaleur décroissent anormalement en avoisinant 1/n², on peut prouver que la borne o(n⁻²) est optimale pour d≥5. On parvient également à construire des environnements naturels dépendants de n qui présentent le facteur log n supplémentaire en dimension d=4.