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April 2008 On the path structure of a semimartingale arising from monotone probability theory
Alexander C. R. Belton
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44(2): 258-279 (April 2008). DOI: 10.1214/07-AIHP116

Abstract

Let X be the unique normal martingale such that X0=0 and

d[X]t=(1−tXt) dXt+dt

and let Yt:=Xt+t for all t≥0; the semimartingale Y arises in quantum probability, where it is the monotone-independent analogue of the Poisson process. The trajectories of Y are examined and various probabilistic properties are derived; in particular, the level set {t≥0: Yt=1} is shown to be non-empty, compact, perfect and of zero Lebesgue measure. The local times of Y are found to be trivial except for that at level 1; consequently, the jumps of Y are not locally summable.

Soit X l’unique martingale normale telle que X0=0 et

d[X]t=(1−tXt) dXt+dt

et soit Yt:=Xt+t pour tout t≥0; la semimartingale Y se manifeste dans la théorie des probabilités quantiques, où c’est analogue du processus de Poisson pour l’indépendance monotone. Les trajectoires de Y sont examinées et diverses propriétés probabilistes sont déduites; en particulier, l’ensemble de niveau {t≥0: Yt=1} est montré être non vide, compact, parfait et de mesure de Lebesgue nulle. Les temps locaux de Y sont trouvés être triviaux sauf celui au niveau 1; par conséquent les sauts de Y ne sont pas localements sommables.

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Alexander C. R. Belton. "On the path structure of a semimartingale arising from monotone probability theory." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44 (2) 258 - 279, April 2008. https://doi.org/10.1214/07-AIHP116

Information

Published: April 2008
First available in Project Euclid: 11 April 2008

zbMATH: 1180.60037
MathSciNet: MR2446323
Digital Object Identifier: 10.1214/07-AIHP116

Subjects:
Primary: 60G44

Rights: Copyright © 2008 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
22 PAGES


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Vol.44 • No. 2 • April 2008
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