In the regression model with errors in variables, we observe n i.i.d. copies of (Y, Z) satisfying Y=f_θ⁰(X)+ξ and Z=X+ɛ involving independent and unobserved random variables X, ξ, ɛ plus a regression function f_θ⁰, known up to a finite dimensional θ⁰. The common densities of the X_i’s and of the ξ_i’s are unknown, whereas the distribution of ɛ is completely known. We aim at estimating the parameter θ⁰ by using the observations (Y₁, Z₁), …, (Y_n, Z_n). We propose an estimation procedure based on the least square criterion $\tilde{S}_{\theta^{0},g}(\theta)=\mathbb{E}_{\theta^{0},g}[((Y-f_{\theta}(X))^{2}w(X)]$ where w is a weight function to be chosen. We propose an estimator and derive an upper bound for its risk that depends on the smoothness of the errors density p_ɛ and on the smoothness properties of w(x)f_θ(x). Furthermore, we give sufficient conditions that ensure that the parametric rate of convergence is achieved. We provide practical recipes for the choice of w in the case of nonlinear regression functions which are smooth on pieces allowing to gain in the order of the rate of convergence, up to the parametric rate in some cases. We also consider extensions of the estimation procedure, in particular, when a choice of w_θ depending on θ would be more appropriate.

Dans le modèle de régression avec erreurs sur les variables, nous observons n v.a. i.i.d. de même loi que (Y, Z) satisfaisant aux relations Y=f_θ⁰(X)+ξ et Z=X+ɛ, où les v.a. X, ξ, ɛ sont indépendantes, pas observées, et la fonction de régression f_θ⁰ est connue à un paramètre de dimension finie θ⁰ près. Les densités de X et de ξ sont inconnues tandis que la loi de ɛ est entièrement connue. Nous estimons le paramètre θ⁰ à partir des observations (Y₁, Z₁), …, (Y_n, Z_n). Nous proposons une procédure d’estimation basée sur le critère des moindres carrés $\tilde{S}_{\theta^{0},g}(\theta)=\mathbb{E}_{\theta^{0},g}[((Y-f_{\theta}(X))^{2}w(X)]$, où w est une fonction de poids à choisir. Nous définissons l’estimateur et calculons la borne supérieure du risque de cet estimateur, qui dépend de la régularité de la densité des erreurs p_ɛ et de la régularité en x de w(x)f_θ(x). De plus, nous établissons des conditions suffisantes pour que les estimateurs atteignent la vitesse paramétrique. Nous décrivons des méthodes pratiques pour le choix de x dans le cas des fonctions de régression non-linéaires qui sont régulières par morceaux permettant de gagner des ordres de vitesse allant jusqu’à la vitesse paramétrique dans certains cas. Nous considérons également des extensions de cette procédure d’estimation, en particulier au cas où un choix de w_θ dépendant de θ serait plus appropié.

Functionals in geometric probability are often expressed as sums of bounded functions exhibiting exponential stabilization. Methods based on cumulant techniques and exponential modifications of measures show that such functionals satisfy moderate deviation principles. This leads to moderate deviation principles and laws of the iterated logarithm for random packing models as well as for statistics associated with germ-grain models and k nearest neighbor graphs.

Les fonctionnelles en probabilite géométrique s’expriment souvent comme des sommes de fonctions bornées qui possèdent la fonction de stabilisation. Les méthodes de cumulants et les modifications exponentielles des mesures démontrent que ces fonctionnelles vérifient le principe des déviations modérées. Ceci donne des principes des déviations modérées et des lois de logarithme itéré pour des modèles de ‘packing aléatoires’ ainsi que pour des statistiques de modèles de ‘germe-grain’ et de graphes avec k plus proches voisins.

In a spiked population model, the population covariance matrix has all its eigenvalues equal to units except for a few fixed eigenvalues (spikes). This model is proposed by Johnstone to cope with empirical findings on various data sets. The question is to quantify the effect of the perturbation caused by the spike eigenvalues. A recent work by Baik and Silverstein establishes the almost sure limits of the extreme sample eigenvalues associated to the spike eigenvalues when the population and the sample sizes become large. This paper establishes the limiting distributions of these extreme sample eigenvalues. As another important result of the paper, we provide a central limit theorem on random sesquilinear forms.

Dans un modèle de variances hétérogènes, les valeurs propres de la matrice de covariance des variables sont toutes égales à l’unité sauf un faible nombre d’entre elles. Ce modèle a été introduit par Johnstone comme une explication possible de la structure des valeurs propres de la matrice de covariance empirique constatée sur plusieurs ensembles de données réelles. Une question importante est de quantifier la perturbation causée par ces valeurs propres différentes de l’unité. Un travail récent de Baik et Silverstein établit la limite presque sûre des valeurs propres empiriques extrêmes lorsque le nombre de variables tend vers l’infini proportionnellement à la taille de l’échantillon. Ce travail établit un théorème limite central pour ces valeurs propres empiriques extrêmes. Il est basé sur un nouveau théorème limite central pour les formes sesquilinéaires aléatoires.

This paper is devoted to establish an invariance principle where the limit process is a multifractional Gaussian process with a multifractional function which takes its values in (1/2, 1). Some properties, such as regularity and local self-similarity of this process are studied. Moreover the limit process is compared to the multifractional Brownian motion.

Ce papier a pour but d’établir un principe d’invariance dont le processus limite est gaussien et multifractionnaire avec une fonction de Hurst à valeurs dans (1/2, 1). Des propriétés telles que la régularité et l’autosimilarité locale de ce processus sont étudiées. De plus, le processus limite est comparé au mouvement brownien multifractionnaire.

We study a spatial branching model, where the underlying motion is d-dimensional (d≥1) Brownian motion and the branching rate is affected by a random collection of reproduction suppressing sets dubbed mild obstacles. The main result of this paper is the quenched law of large numbers for the population for all d≥1. We also show that the branching Brownian motion with mild obstacles spreads less quickly than ordinary branching Brownian motion by giving an upper estimate on its speed. When the underlying motion is an arbitrary diffusion process, we obtain a dichotomy for the quenched local growth that is independent of the Poissonian intensity. More general offspring distributions (beyond the dyadic one considered in the main theorems) as well as mild obstacle models for superprocesses are also discussed.

Nous étudions un modèle de branchement spatial où le mouvement de base est Brownien d-dimensionnel (d≥1) et le taux de branchement est modifié par une collection aléatoire d’ensembles sur lesquels la reproduction n’a pas lieu (obstacles moux). Le résultat principal de cet article est l’asymptotique (en probabilité) des taux de croissance globaux “quenchés” pour tout d≥1, et nous identifions les termes de correction sous-exponentielle. Nous montrons aussi que le branchement Brownien avec obstacles moux diffuse moins vite que le branchement Brownien classique en donnant une borne supérieure de sa vitesse. Dans le cas où le mouvement de base est un processus de diffusion arbitraire nous obtenons une dichotomie pour la croissance locale “quenchée” qui est indépendante de l’intensité Poissonnienne. Le cas de distributions plus générales du nombre de descendants (autre que le cas dyadique considéré dans les théorème principaux), ainsi que des modèles d’obstacles moux pour des superprocessus, sont aussi discutés.

This paper deals with the homogenization problem for a one-dimensional parabolic PDE with random stationary mixing coefficients in the presence of a large zero order term. We show that under a proper choice of the scaling factor for the said zero order terms, the family of solutions of the studied problem converges in law, and describe the limit process. It should be noted that the limit dynamics remain random.

Cet article traite de l’homogénéisation d’une équation aux dérivées partielles en dimension un d’espace, avec des coefficients aléatoires stationnaires et mélangeants, en présence d’u terme d’ordre zéro fortement oscillant. Nous montrons qu’avec un choix convenable du facteur d’échelle de ce terme d’ordre zéro, les solutions du problème étudié convergent en loi, et nous décrivons le processus limite. On peut noter que la dynamique limite est elle aussi aléatoire.

We provide a new exponential concentration inequality for first passage percolation valid for a wide class of edge times distributions. This improves and extends a result by Benjamini, Kalai and Schramm (Ann. Probab. 31 (2003)) which gave a variance bound for Bernoulli edge times. Our approach is based on some functional inequalities extending the work of Rossignol (Ann. Probab. 35 (2006)), Falik and Samorodnitsky (Combin. Probab. Comput. 16 (2007)).

On obtient une nouvelle inégalité de concentration exponentielle pour la percolation de premier passage, valable pour une large classe de distributions des temps d’arêtes. Ceci améliore et étend un résultat de Benjamini, Kalai et Schramm (Ann. Probab. 31 (2003)) qui donnait une borne sur la variance pour des temps d’arêtes suivant une loi de Bernoulli. Notre approche se fonde sur des inégalités fonctionnelles étendant les travaux de Rossignol (Ann. Probab. 35 (2006)), Falik et Samorodnitsky (Combin. Probab. Comput. 16 (2007)).

We derive a quenched invariance principle for random walks in random environments whose transition probabilities are defined in terms of weighted cycles of bounded length. To this end, we adapt the proof for random walks among random conductances by Sidoravicius and Sznitman (Probab. Theory Related Fields 129 (2004) 219–244) to the non-reversible setting.

Nous dérivons un principe d’invariance presque sûr pour les marches aléatoires en milieu aléatoire dont les transitions sont données par des poids indexés par des cycles bornés. A cet effet nous adaptons la démonstration pour les marches symétriques en milieu aléatoire de Sidoravicius et Sznitman (Probab. Theory Related Fields 129 (2004) 219–244) dans le cas non réversible.