In this paper we obtain skew-product representations of the multidimensional Dunkl processes which generalize the skew-product decomposition in dimension 1 obtained in L. Gallardo and M. Yor. Some remarkable properties of the Dunkl martingales. Séminaire de Probabilités XXXIX, 2006. We also study the radial part of the Dunkl process, i.e. the projection of the Dunkl process on a Weyl chamber.

Dans cet article nous obtenons des produits semi-directs des processus de Dunkl multidimensionnels qui généralisent ceux obtenus en dimension 1 dans L. Gallardo and M. Yor. Some remarkable properties of the Dunkl martingales. In Séminaire de Probabilités XXXIX, 2006. Nous étudions les processus de Dunkl radiaux qui sont les projections des processus de Dunkl sur une chambre de Weyl.

We consider an important subclass of self-similar, non-Gaussian stable processes with stationary increments known as self-similar stable mixed moving averages. As previously shown by the authors, following the seminal approach of Jan Rosiński, these processes can be related to nonsingular flows through their minimal representations. Different types of flows give rise to different classes of self-similar mixed moving averages, and to corresponding general decompositions of these processes. Self-similar stable mixed moving averages related to dissipative flows have already been studied, as well as processes associated with identity flows which are the simplest type of conservative flows. The focus here is on self-similar stable mixed moving averages related to periodic and cyclic flows. Periodic flows are conservative flows such that each point in the space comes back to its initial position in finite time, either positive or null. The flow is cyclic if the return time is positive.

Self-similar mixed moving averages are called periodic, resp. cyclic, fractional stable motions if their minimal representations are generated by periodic, resp. cyclic, flows. In practice, however, minimal representations are not particularly easy to determine and, moreover, self-similar stable mixed moving averages are often defined by nonminimal representations. We therefore provide a way which is not based on flows, to detect whether these processes are periodic or cyclic even if their representations are nonminimal. These identification results lead naturally to a decomposition of self-similar stable mixed moving averages which includes the new classes of periodic and cyclic fractional stable motions, and hence is more refined than the one previously established.

Nous considérons une sous-classe de l’ensemble des processus autosimilaires stables non gaussiens à accroissements stationnaires. C’est la sous-classe des processus à moyenne mobile mixte. Appliquant une méthodologie introduite par Jan Rosiński, nous avons établi précédemment une correspondance entre les représentations minimales de ces processus et des flots non singuliers. Les processus associés aux flots dissipatifs et ceux associés au flot “identité” (qui est un flot conservatif) ont déjà été caractérisés. Nous étudions ici les processus associés aux flots périodiques et cycliques. Un flot est “périodique” s’il ramène tout point de l’espace à sa position de départ en un temps fini, positif ou nul. Ce flot est “cyclique” si ce temps de retour est strictement positif. Les flots périodiques et cycliques sont des flots conservatifs.

Un processus autosimilaire stable à moyenne mobile mixte est appelé “périodique” (ou “cyclique”) si sa representation minimale est associée à un flot périodique (ou cyclique). Il n’est toutefois pas toujours facile de déterminer la représentation minimale d’un processus, et, de plus, les processus autosimilaires sont souvent caractérisés par une représentation non minimale. C’est pouquoi nous offrons une méthode directe pour déterminer si ces processus sont périodiques (ou cycliques) sans devoir passer par l’intermédiaire des flots. Cette méthode fonctionne même si la representation des processus est non minimale.

Nous obtenons finalement une décomposition des processus autosimilaires stables à moyenne mobile mixte qui inclue les processus périodiques et cycliques. Cette décomposition est plus fine que celles connues auparavant.

In this paper we obtain the central limit theorems, moderate deviations and the laws of the iterated logarithm for the energy $$H_n=\sum_{1≤j<k≤n}ω_jω_k1_{\{S_j=S_k\}}$$ of the polymer $\{S_1, …, S_n\}$ equipped with random electrical charges $\{ω_1, …, ω_n\}$. Our approach is based on comparison of the moments between $H_n$ and the self-intersection local time $$Q_n=\sum_{1≤j<k≤n}1_{\{S_j=S_k\}}$$ run by the $d$-dimensional random walk $\{S_k\}$. As partially needed for our main objective and partially motivated by their independent interest, the central limit theorems and exponential integrability for $Q_n$ are also investigated in the case $d≥3$.

Cet article est consacré à l’étude du théorème central limite, des déviations modérées et des lois du logarithme itéré pour l’énergie $$H_n=\sum_{1≤j<k≤n}ω_jω_k1_{\{S_j=S_k\}}$$ du polymère $\{S_1, …, S_n\}$ doté de charges électriques $\{ω_1, …, ω_n\}$. Notre approche se base sur la comparaison des moments de $H_n$ et du temps local de recoupements $$Q_n=\sum_{1≤j<k≤n}1_{\{S_j=S_k\}}$$ de la marche aléatoire $d$-dimensionelle $\{S_k\}$. L’étude du théorème central limite et de l’intégrabilité exponentielle de $Q_n$ (dans le cas $d≥3$) est également menée, tant pour comme outil pour notre principal objectif que pour son intérêt intrinsèque.

We study the long time behavior (homogenization) of a diffusion in random medium with time and space dependent coefficients. The diffusion coefficient may degenerate. In Stochastic Process. Appl. (2007) (to appear), an invariance principle is proved for the critical rescaling of the diffusion. Here, we generalize this approach to diffusions whose space-time scaling differs from the critical one.

Nous étudions le comportement asymptotique (homogénéisation) d’une diffusion en milieu aléatoire avec des coefficients dépendant du temps et de l’espace, pour laquelle le coefficient de diffusion peut dégénérer. Dans Stochastic Process. Appl. (2007) (to appear), un principe d’invariance est établi pour le changement d’échelle critique de la diffusion. Ici, une généralisation de cette approche est proposée pour différents changements d’échelle possibles.

In this paper, we give estimates of the minimal ${\mathbb{L}}^{1}$ distance between the distribution of the normalized partial sum and the limiting Gaussian distribution for stationary sequences satisfying projective criteria in the style of Gordin or weak dependence conditions.

Dans cet article, nous donnons des majorations de la distance minimale ${\mathbb{L}}^{1}$ entre la loi de la somme normalisée et sa loi limite gaussienne pour des suites stationnaires satisfaisant des critères projectifs à la Gordin ou des conditions de dépendance faible.

Let $B^H=\{B^H(t), t∈ℝ_+^N\}$ be an $(N, d)$-fractional Brownian sheet with index $H=(H_1, …, H_N)∈(0, 1)^N$ defined by $B^H(t)=(B^H_1(t), …, B^H_d(t)) (t∈ℝ_+^N)$, where $B^H_1, …, B^H_d$ are independent copies of a real-valued fractional Brownian sheet $B_0^H$. We prove that if $d<∑_{ℓ=1}^NH_ℓ^{−1}$, then the local times of $B^H$ are jointly continuous. This verifies a conjecture of Xiao and Zhang (Probab. Theory Related Fields 124 (2002)).

We also establish sharp local and global Hölder conditions for the local times of $B^H$. These results are applied to study analytic and geometric properties of the sample paths of $B^H$.

Désignons par $B^H=\{B^H(t), t∈ℝ_+^N\}$ le $(N, d)$-drap Brownien fractionnaire de paramètre $H=(H_1, …, H_N)∈(0, 1)^N$ défini par $B^H(t)=(B^H_1(t), …, B^H_d(t)) (t∈ℝ_+^N)$, où $B^H_1, …, B^H_d$ sont des copies indépendantes du drap Brownien fractionnaire à valeurs réelles $B_0^H$. Nous montrons que le temps local de $B^H$ est bicontinu lorsque $d<∑_{ℓ=1}^NH_ℓ^{−1}$. Cela résout une conjecture de Xiao et Zhang (Probab. Theory Related Fields 124 (2002)). Nous obtenons aussi des résultats fins concernant la régularité Hölderienne, locale et globale, du temps local. Ces résultats nous permettent d’étudier certaines propriétés analytiques et géométriques des trajectoires de $B^H$.

For large N, we consider the ordinary continued fraction of x=p/q with 1≤p≤q≤N, or, equivalently, Euclid’s gcd algorithm for two integers 1≤p≤q≤N, putting the uniform distribution on the set of p and qs. We study the distribution of the total cost of execution of the algorithm for an additive cost function c on the set ℤ₊^* of possible digits, asymptotically for N→∞. If c is nonlattice and satisfies mild growth conditions, the local limit theorem was proved previously by the second named author. Introducing diophantine conditions on the cost, we are able to control the speed of convergence in the local limit theorem. We use previous estimates of the first author and Vallée, and we adapt to our setting bounds of Dolgopyat and Melbourne on transfer operators. Our diophantine condition is generic (with respect to Lebesgue measure). For smooth enough observables (depending on the diophantine condition) we attain the optimal speed.

Nous considérons la fraction continue ordinaire de x=p/q pour 1≤p≤q≤N, ou, de manière équivalente, l’algorithme de pgcd d’Euclide pour deux entiers 1≤p≤q≤N, avec N grand et p et q distribués uniformément. Nous étudions la distribution du coût total de l’exécution de l’algorithme pour un coût additif c sur l’ensemble ℤ₊^* des “digits” possibles, lorsque N tend vers l’infini. Le théorème de la limite locale a été démontré par le deuxiéme auteur si c est non réseau et satisfait une condition de croissance modérée. En imposant une condition diophantienne sur le coût, nous parvenons à contrôler la vitesse de convergence dans ce théorème de la limite locale. Pour cela nous utilisons des estimées obtenues par le premier auteur et Vallée, et nous adaptons à notre problème des bornes de Dolgopyat et Melbourne sur les opérateurs de transfert. Notre condition diophantienne est générique (par rapport à la mesure de Lebesgue). Pour des observables assez régulières (par rapport à la condition diophantienne), nous obtenons la vitesse optimale.

Usually the problem of drift estimation for a diffusion process is considered under the hypothesis of ergodicity. It is less often considered under the hypothesis of null-recurrence, simply because there are fewer limit theorems and existing ones do not apply to the whole null-recurrent class.

The aim of this paper is to provide some limit theorems for additive functionals and martingales of a general (ergodic or null) recurrent diffusion which would allow us to have a somewhat unified approach to the problem of non-parametric kernel drift estimation in the one-dimensional recurrent case. As a particular example we obtain the rate of convergence of the Nadaraya–Watson estimator in the case of a locally Hölder-continuous drift.

Habituellement le problème de l’estimation du drift pour un processus de diffusion est considéré sous l’hypothèse de l’ergodicité. Il l’est moins souvent sous l’hypothèse de nulle-récurrence, car dans ce cas il y a moins de théorèmes limites, et ceux qui existent ne s’appliquent pas à toute la classe nulle-récurrente.

Le but de cet article est de démontrer quelques théorèmes limites pour les fonctionnelles additives et martingales dépendantes d’une diffusion récurrente générale (ergodique ou nulle). Ces théorèmes permettent de donner une approche unifiée au problème de l’estimation non-paramétrique par noyau du drift dans le cas unidimensionnel récurrent. Comme exemple on obtient la vitesse de convergence de l’estimateur de Nadaraya–Watson dans le cas d’un drift localement hölderien.