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August 2008 Joint continuity of the local times of fractional Brownian sheets
Antoine Ayache, Dongsheng Wu, Yimin Xiao
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44(4): 727-748 (August 2008). DOI: 10.1214/07-AIHP131

Abstract

Let $B^H=\{B^H(t), t∈ℝ_+^N\}$ be an $(N, d)$-fractional Brownian sheet with index $H=(H_1, …, H_N)∈(0, 1)^N$ defined by $B^H(t)=(B^H_1(t), …, B^H_d(t)) (t∈ℝ_+^N)$, where $B^H_1, …, B^H_d$ are independent copies of a real-valued fractional Brownian sheet $B_0^H$. We prove that if $d<∑_{ℓ=1}^NH_ℓ^{−1}$, then the local times of $B^H$ are jointly continuous. This verifies a conjecture of Xiao and Zhang (Probab. Theory Related Fields 124 (2002)).

We also establish sharp local and global Hölder conditions for the local times of $B^H$. These results are applied to study analytic and geometric properties of the sample paths of $B^H$.

Désignons par $B^H=\{B^H(t), t∈ℝ_+^N\}$ le $(N, d)$-drap Brownien fractionnaire de paramètre $H=(H_1, …, H_N)∈(0, 1)^N$ défini par $B^H(t)=(B^H_1(t), …, B^H_d(t)) (t∈ℝ_+^N)$, où $B^H_1, …, B^H_d$ sont des copies indépendantes du drap Brownien fractionnaire à valeurs réelles $B_0^H$. Nous montrons que le temps local de $B^H$ est bicontinu lorsque $d<∑_{ℓ=1}^NH_ℓ^{−1}$. Cela résout une conjecture de Xiao et Zhang (Probab. Theory Related Fields 124 (2002)). Nous obtenons aussi des résultats fins concernant la régularité Hölderienne, locale et globale, du temps local. Ces résultats nous permettent d’étudier certaines propriétés analytiques et géométriques des trajectoires de $B^H$.

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Antoine Ayache. Dongsheng Wu. Yimin Xiao. "Joint continuity of the local times of fractional Brownian sheets." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44 (4) 727 - 748, August 2008. https://doi.org/10.1214/07-AIHP131

Information

Published: August 2008
First available in Project Euclid: 5 August 2008

zbMATH: 1180.60032
MathSciNet: MR2446295
Digital Object Identifier: 10.1214/07-AIHP131

Subjects:
Primary: 60G15, 60G17

Rights: Copyright © 2008 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
22 PAGES


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Vol.44 • No. 4 • August 2008
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