We consider the problem of nonparametric estimation of signal singularities from indirect and noisy observations. Here by singularity, we mean a discontinuity (change-point) of the signal or of its derivative. The model of indirect observations we consider is that of a linear transform of the signal, observed in white noise. The estimation problem is analyzed in a minimax framework. We provide lower bounds for minimax risks and propose rate-optimal estimation procedures.

Cet article a pour but d’étudier le problème d’estimation non-paramétrique de singularités d’un signal à partir des observations indirectes et bruitées. Les singularités que nous considérons ici sont des points de discontinuité (points de rupture) du signal ou de ses derivées. Nous étudions le modèle où l’on dispose d’observations indirectes d’une transformée linéaire du signal dans le bruit blanc gaussien. Le problème de l’estimation est analysé dans un cadre minimax. Nous obtenons des minorations du risque minimax et nous proposons des estimateurs qui sont optimaux en vitesse de convergence.

We focus on the problem of adaptive estimation of signal singularities from indirect and noisy observations. A typical example of such a singularity is a discontinuity (change-point) of the signal or of its derivative. We develop a change-point estimator which adapts to the unknown smoothness of a nuisance deterministic component and to an unknown jump amplitude. We show that the proposed estimator attains optimal adaptive rates of convergence. A simulation study demonstrates reasonable practical behavior of the proposed adaptive estimates.

Nous étudions ici le problème d’estimation adaptative de singularités d’un signal à partir des observations indirectes et bruitées. Par exemple, cette definition de singularité inclut des points de discontinuité (points de rupture) du signal ou de ses derivées. Nous proposons un estimateur du point de rupture qui s’adapte à une regularité inconnue du paramètre de nuisance et à l’amplitude inconnue du saut, et dont la vitesse de convergence est optimale. Nous illustrons les propriétés théoriques de cet estimateur par quelques résultats de simulation.

We study large deviations principles for N random processes on the lattice ℤ^d with finite time horizon [0, β] under a symmetrised measure where all initial and terminal points are uniformly averaged over random permutations. That is, given a permutation σ of N elements and a vector (x₁, …, x_N) of N initial points we let the random processes terminate in the points (x_σ(1), …, x_σ(N)) and then sum over all possible permutations and initial points, weighted with an initial distribution. We prove level-two large deviations principles for the mean of empirical path measures, for the mean of paths and for the mean of occupation local times under this symmetrised measure. The symmetrised measure cannot be written as a product of single random process distributions. We show a couple of important applications of these results in quantum statistical mechanics using the Feynman–Kac formulae representing traces of certain trace class operators. In particular we prove a non-commutative Varadhan lemma for quantum spin systems with Bose–Einstein statistics and mean field interactions.

A special case of our large deviations principle for the mean of occupation local times of N simple random walks has the Donsker–Varadhan rate function as the rate function for the limit N→∞ but for finite time β. We give an interpretation in quantum statistical mechanics for this surprising result.

Nous étudions les principes de grandes déviations pour N processus aléatoires sur réseaux ℤ^d pour des temps [0, β] finis et sous la condition que la mesure correspondante soit symétrisée, c’est-à-dire que tous les points initiaux et finaux soient uniformément moyennés par rapport aux perturbations aléatoires. Plus précisément, cela signifie que, pour toute permutation σ de N éléments et pour tout vecteur (x₁, …, x_N) de N points initiaux, le processus aléatoire peut se terminer aux points (x_σ(1), …, x_σ(N)) et nous sommons donc ensuite sur toutes les permutations possibles ainsi que sur tous les points initiaux avec, pour poids respectif, une distribution initiale. Nous démontrons le principe de grandes déviations de niveau deux pour la valeur moyenne de la mesure des chemins empiriques, pour la valeur moyenne des chemins, ainsi que pour la valeur moyenne de la mesure empirique sur l’espace des chemins via la mesure symétrisée. Nous donnons également quelques applications de ces résultats en mécanique statistique quantique via la formule de Feynman–Kac représentant la trace de certains opérateurs. En particulier, nous montrons un lemme de Varadhan non commutatif pour des syst èmes de spins quantiques définis via la statistique de Bose–Einstein et avec une interaction de champ moyen. Un cas spécial de notre principe de grandes déviations pour la valeur moyenne des temps locaux d’occupation de N marches aléatoires montre que la fonction de taux est celle de Donsker–Varadhan dans la limite N→∞ mais pour un temps β fini. Nous donnons une interprétation en mécanique statistique quantique de ce résultat surprenant.

There is only one fully supported ergodic invariant probability measure for the adic transformation on the space of infinite paths in the graph that underlies the Eulerian numbers. This result may partially justify a frequent assumption about the equidistribution of random permutations.

Pour la transformation adique sur l’espace des chemins infinis dans le graphe associé aux nombres Euleriens, il n’existe qu’une seule mesure de probabilité ergodique invariante avec support total. Ce résultat peut justifier en partie une hypothèse fréquente sur l’équidistribution des permutations aléatoires.

We recover the Navier–Stokes equation as the incompressible limit of a stochastic lattice gas in which particles are allowed to jump over a mesoscopic scale. The result holds in any dimension assuming the existence of a smooth solution of the Navier–Stokes equation in a fixed time interval. The proof does not use nongradient methods or the multi-scale analysis due to the long range jumps.

Nous retrouvons l’équation de Navier–Stokes comme limite incompressible d’un gas sur réseau où les particules peuvent sauter sur des distances mésoscopiques. Le résultat est valable en toute dimension supposant l’existence d’une solution lisse de l’équation de Navier–Stokes en un intervale de temps donné. La démonstration ne dépend pas des méthodes non-gradients ou l’analyse multi-échelle grâce aux sauts de longue portée.

We find limit shapes for a family of multiplicative measures on the set of partitions, induced by exponential generating functions with expansive parameters, a_k∼Ck^p−1, k→∞, p>0, where C is a positive constant. The measures considered are associated with the generalized Maxwell–Boltzmann models in statistical mechanics, reversible coagulation–fragmentation processes and combinatorial structures, known as assemblies. We prove a central limit theorem for fluctuations of a properly scaled partition chosen randomly according to the above measure, from its limit shape. We demonstrate that when the component size passes beyond the threshold value, the independence of numbers of components transforms into their conditional independence (given their masses). Among other things, the paper also discusses, in a general setting, the interplay between limit shape, threshold and gelation.

Nous trouvons des formes limites pour une famille de mesures multiplicatives sur l’ensemble des partitions, induites par des fonctions génératrices exponentielles avec des paramètres d’expansion a_k∼Ck^p−1, k→∞, p>0, où C est une constante positive. Les mesures considérées sont associées aux modèles Maxwell–Boltzmann généralisés de la mécanique statistique, des processus de coagulation–fragmentation réversibles et des structures combinatoires connues sous le nom d’assemblées. Nous prouvons un théorème de limite centrale pour les fluctuations d’une partition qui est mise à l’echelle convenablement et choisie aléatoirement selon la mesure ci-dessus. Nous démontrons que, quand la taille des composantes dépasse la valeur seuil, l’indépendance des nombres de composants se transforme en leur indépendance conditionnelle. Entre autres, cet article traite, dans un cadre général, des relations entre la forme limite, le seuil et la congélation.

We discuss the long time behavior of a two-dimensional reflected diffusion in the unit square and investigate more specifically the hitting time of a neighborhood of the origin.

We distinguish three different regimes depending on the sign of the correlation coefficient of the diffusion matrix at the point 0. For a positive correlation coefficient, the expectation of the hitting time is uniformly bounded as the neighborhood shrinks. For a negative one, the expectation explodes in a polynomial way as the diameter of the neighborhood vanishes. In the null case, the expectation explodes at a logarithmic rate. As a by-product, we establish in the different cases the attainability or nonattainability of the origin for the reflected process.

From a practical point of view, the considered hitting time appears as a deadlock time in various resource sharing problems.

Nous étudions le comportement en temps long d’une diffusion réfléchie à valeurs dans le carré unité et nous focalisons plus précisément sur le temps d’atteinte d’un voisinage de l’origine.

Nous distinguons trois régimes différents, selon le signe du coefficient de corrélation de la matrice de diffusion prise au point 0. Pour un coefficient de corrélation strictement positif, l’espérance du temps d’atteinte reste bornée lorsque le voisinage se rétrécit. Pour un coefficient strictement négatif, l’espérance explose à vitesse polynomiale lorsque le diamètre du voisinage tend vers zéro. Dans le cas d’un coefficient nul, l’espérance diverge à vitesse logarithmique. Au passage, nous établissons selon les cas la possibilité ou l’impossibilité pour la diffusion réfléchie d’atteindre l’origine.

D’un point de vue pratique, le temps d’atteinte considéré apparaît comme un instant de blocage dans différents problèmes de partage de ressource.

We study the relation between the minimal spanning tree (MST) on many random points and the “near-minimal” tree which is optimal subject to the constraint that a proportion δ of its edges must be different from those of the MST. Heuristics suggest that, regardless of details of the probability model, the ratio of lengths should scale as 1+Θ(δ²). We prove this scaling result in the model of the lattice with random edge-lengths and in the Euclidean model.

Nous étudions la relation entre l’arbre couvrant minimal (ACM) sur des points aléatoires et l’arbre “quasi” optimal sous la contrainte qu’une proportion δ de ses arêtes soit différente de celles de l’ACM. Un raisonnement heuristique suggère que quelque soit le modèle probabiliste sous-jacent, le ratio des longueurs des deux arbres doit varier en 1+Θ(δ²). Nous montrons ce résultat d’échelle pour le modèle de la grille avec des longueurs d’arêtes aléatoires et pour le modèle Euclidien.

Let X̂=C−Y where Y is a general one-dimensional Lévy process and C an independent subordinator. Consider the times when a new supremum of X̂ is reached by a jump of the subordinator C. We give a necessary and sufficient condition in order for such times to be discrete. When this is the case and X̂ drifts to −∞, we decompose the absolute supremum of X̂ at these times, and derive a Pollaczek–Hinchin-type formula for the distribution function of the supremum.

Soit Y un processus de Lévy réel quelconque et C un subordinateur indépendant de Y. On considère les temps en lesquels le processus X̂=C−Y atteint un nouveau maximum par un saut de C. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que l’ensemble de ces temps soit discret. Lorsque tel est le cas et que le processus X̂ dérive vers −∞, nous décomposons son maximum absolu en cette suite de temps. Nous déduisons alors de cette décomposition une formule du type Pollaczek–Hinchin pour la loi du maximum absolu de X̂.