This article is dedicated to localization of the principal eigenvalue (PE) of the Stokes operator acting on solenoidal vector fields that vanish outside a large random domain modeling the pore space in a cubic block of porous material with disordered micro-structure. Its main result is an asymptotically deterministic lower bound for the PE of the sum of a low compressibility approximation to the Stokes operator and a small scaled random potential term, which is applied to produce a similar bound for the Stokes PE. The arguments are based on the method proposed by F. Merkl and M. V. Wütrich for localization of the PE of the Schrödinger operator in a similar setting. Some additional work is needed to circumvent the complications arising from the restriction to divergence-free vector fields of the class of test functions in the variational characterization of the Stokes PE.

Cet article est dédié à l’étude de la localisation de la valeur propre principale (VPP) de l’opérateur de Stokes sous la condition de Dirichlet sur la frontière d’un grand domaine aléatoire qui modélise l’espace des pores d’ un bloc cubique de matière poreuse dotée d’une microstructure désordonnée. Le résultat principal est une borne inférieure asymptotiquement déterministe pour la VPP de l’opérateur correspondant á l’écoulement d’un liquide peu compressible en présence d’un petit potentiel positif aléatoire. Les arguments sont fondés sur la méthode proposée par F. Merkl et M. V. Wütrich pour localiser la VPP de l’opérateur de Schrödinger dans une situation similaire. Des efforts supplémentaires sont nécessaires pour combattre les complications provenant de la réduction à la classe de champs vectoriels de divergence nulle de la famille des fonctions utilisées pour caractériser la VPP de l’opérateur de Stokes par une formule variationnelle.

We show that any loop-free Markov chain on a discrete space can be viewed as a determinantal point process. As an application, we prove central limit theorems for the number of particles in a window for renewal processes and Markov renewal processes with Bernoulli noise.

Nous montrons que toute chaîne de Markov sans cycles sur un espace discret peut être vue comme un processus ponctuel determinantal. Comme application, nous démontrons des théorèmes limites centrales pour le nombre de particules dans une fenêtre pour des processus de renouvellement et des processus de renouvellement markoviens avec un bruit de Bernoulli.

We consider a model of the shape of a growing polymer introduced by Durrett and Rogers (Probab. Theory Related Fields 92 (1992) 337–349). We prove their conjecture about the asymptotic behavior of the underlying continuous process X_t (corresponding to the location of the end of the polymer at time t) for a particular type of repelling interaction function without compact support.

Nous considérons un modèle de formation de polymères introduit par Durrett et Rogers (Probab. Theory Related Fields 92 (1992) 337–349). Nous prouvons leur conjecture sur le comportement asymptotique du processus continu associé X_t (correspondant à l’emplacement de l’extrémité du polymère au temps t) pour un type particulier de fonction d’interaction répulsive à support non compact.

This paper presents a new algorithm to perform regression estimation, in both the inductive and transductive setting. The estimator is defined as a linear combination of functions in a given dictionary. Coefficients of the combinations are computed sequentially using projection on some simple sets. These sets are defined as confidence regions provided by a deviation (PAC) inequality on an estimator in one-dimensional models. We prove that every projection the algorithm actually improves the performance of the estimator. We give all the estimators and results at first in the inductive case, where the algorithm requires the knowledge of the distribution of the design, and then in the transductive case, which seems a more natural application for this algorithm as we do not need particular information on the distribution of the design in this case. We finally show a connection with oracle inequalities, making us able to prove that the estimator reaches minimax rates of convergence in Sobolev and Besov spaces.

Cette article présente un nouvel algorithme d’estimation de régression, dans les contextes inductifs et transductifs. L’estimateur est défini par une combinaison linéaire de fonctions choisies dans un dictionnaire donné. Les coefficients de cette combinaison sont calculés par des projections successives sur des ensembles simples. Ces ensembles sont définis comme des régions de confiance données par une inégalité de déviation (ou inégalité PAC). On démontre en particulier que chaque projection au cours de l’algorithme améliore effectivement l’estimateur obtenu. On donne tout d’abord les résultats dans le contexte inductif, où l’algorithme nécessite la connaissance de la distribution du design, puis dans le contexte transductif, plus naturel ici puisque l’algorithme s’applique sans la connaissance de cette distribution. On établit finalement un lien avec les inégalités d’oracle, permettant de montrer que notre estimateur atteint les vitesses optimales dans les espaces de Sobolev et de Besov.

Given any finite or countable collection of real numbers T_j, j∈J, we find all solutions F to the stochastic fixed point equation $$W\stackrel {\mathrm {d}}{=}\inf_{j\in J}T_{j}W_{j},$$ where W and the W_j, j∈J, are independent real-valued random variables with distribution F and $\stackrel {\mathrm {d}}{=}$ means equality in distribution. The bulk of the necessary analysis is spent on the case when |J|≥2 and all T_j are (strictly) positive. Nontrivial solutions are then concentrated on either the positive or negative half line. In the most interesting (and difficult) situation T has a characteristic exponent α given by ∑_j∈JT_j^α=1 and the set of solutions depends on the closed multiplicative subgroup of ℝ^>=(0, ∞) generated by the T_j which is either {1}, ℝ^> itself or r^ℤ={rⁿ:n∈ℤ} for some r>1. The first case being trivial, the nontrivial fixed points in the second case are either Weibull distributions or their reciprocal reflections to the negative half line (when represented by random variables), while in the third case further periodic solutions arise. Our analysis builds on the observation that the logarithmic survival function of any fixed point is harmonic with respect to Λ=∑_j≥1δ_Tj, i.e. Γ=Γ⋆Λ, where ⋆ means multiplicative convolution. This will enable us to apply the powerful Choquet–Deny theorem.

Étant donné un ensemble fini ou dénombrable de nombres réel T_j, j∈J, nous trouvons l’ensemble des solutions F de l’équation fonctionelle $$W\stackrel {\mathrm {d}}{=}\inf_{j\in J}T_{j}W_{j},$$ où W et les W_j, j∈J, sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes ayant la loi F et $\stackrel {\mathrm {d}}{=}$ signifie identité en loi. L’essentiel de ce travail concerne le cas où |J|≥2 et tous les T_j sont (strictement) positifs. Dans ce cas, toutes les solutions sont concentrées soit sur (0, ∞) soit sur (−∞, 0). Dans la situation la plus intéressante (et plus difficile) T a un exposant charactéristique α donné par ∑_j∈JT_j^α=1, et l’ensemble des solutions dépend du sous-groupe multiplicatif de ℝ^>=(0, ∞) généré par les T_j, qui est {1}, ℝ^> lui-meme, ou r^ℤ={rⁿ:n∈ℤ} pour quelque r>1. Le premier cas etant trivial, les points fixes non-triviaux dans le second cas sont ou bien les lois de Weibull ou bien leurs images réciproques sur (−∞, 0) (si elles sont représentées par des variables aléatoires). Dans le troisième cas, il y a des solutions périodiques supplémentaires. Notre analyse est basée sur l’observation que le logarithme de la fonction de survie de chaque point fixe est harmonique relatif à Λ=∑_j≥1δ_Tj, c’est-à-dire Γ=Γ⋆Λ, où ⋆ dénote la convolution multiplicative. Cela nous permettrons l’utilisation du theorème puissant de Choquet et Deny.

In this paper we prove the Local Asymptotic Mixed Normality (LAMN) property for the statistical model given by the observation of local means of a diffusion process X. Our data are given by ∫₀¹X_(s+i)/n dμ(s) for i=0, …, n−1 and the unknown parameter appears in the diffusion coefficient of the process X only. Although the data are neither Markovian nor Gaussian we can write down, with help of Malliavin calculus, an explicit expression for the log-likelihood of the model, and then study the asymptotic expansion. We actually find that the asymptotic information of this model is the same one as for a usual discrete sampling of X.

Dans ce papier nous démontrons la propriété LAMN pour le modèle statistique constitué par l’observation des moyennes locales d’une diffusion X. Nos données sont définies comme ∫₀¹X_(s+i)/n dμ(s) avec i=0, …, n−1 et le paramètre inconnu apparaît seulement dans le coefficient de diffusion du processus X. Bien que cette observation ne soit ni Gaussienne ni Markovienne nous pouvons, par le calcul de Malliavin, obtenir une expression pour la log-vraisemblance du modèle. Nous sommes alors capables de calculer l’information asymptotique et montrons qu’elle est la même que pour l’observation ponctuelle de la diffusion.

Dans cet article nous démontrons un théorème de stabilité des probabilités de retour sur un groupe localement compact unimodulaire, séparable et compactement engendré. Nous démontrons que le comportement asymptotique de F^*(2n)(e) ne dépend pas de la densité F sous des hypothèses naturelles. A titre d’exemple nous établissons que la probabilité de retour sur une large classe de groupes résolubles se comporte comme exp(−n^1/3).

The main result of this paper is a theorem about the stability of the return probability of symmetric random walks on a locally compact group which is unimodular, separable and compactly generated. We show that the asymptotic behavior of F^*(2n)(e) does not depend on the choice of the density F under natural assumptions. As an example we show that the return probabilities for a large class of solvable groups of exponential volume growth, behaves like exp(−n^1/3).

In this paper characterizations of graphs satisfying heat kernel estimates for a wide class of space–time scaling functions are given. The equivalence of the two-sided heat kernel estimate and the parabolic Harnack inequality is also shown via the equivalence of the upper (lower) heat kernel estimate to the parabolic mean value (and super mean value) inequality.

Dans cet article, nous caractérisons des graphes qui satisfont des estimées du noyau de la chaleur pour un large ensemble de fonctions d’echelles spaciaux–temporelles. L’équivalence entre l’estimée du noyau de la chaleur et l’inégalité parabolique de Harnack est également démontrée par l’équivalence de l’estimée haute (basse) du noyau de la chaleur et l’inégalité parabolique de la valeur moyenne (et de la valeur moyenne supérieure).

Let {S_n} be a random walk in the domain of attraction of a stable law $\mathcal{Y}$, i.e. there exists a sequence of positive real numbers (a_n) such that S_n/a_n converges in law to $\mathcal{Y}$. Our main result is that the rescaled process (S_⌊nt⌋/a_n, t≥0), when conditioned to stay positive, converges in law (in the functional sense) towards the corresponding stable Lévy process conditioned to stay positive. Under some additional assumptions, we also prove a related invariance principle for the random walk killed at its first entrance in the negative half-line and conditioned to die at zero.

Soit {S_n} une marche aléatoire dont la loi est dans le domaine d’attraction d’une loi stable $\mathcal{Y}$, i.e. il existe une suite de réels positifs (a_n) telle que S_n/a_n converge en loi vers $\mathcal{Y}$. Nous montrons que le processus renormalisé (S_⌊nt⌋/a_n, t≥0), une fois conditionné à rester positif, converge en loi (au sens fonctionnel) vers le processus de Lévy stable de loi $\mathcal{Y}$ conditionné à rester positif. Sous certaines hypothèses supplémentaires, nous montrons un principe d’invariance pour cette marche aléatoire tuée lorsqu’elle quitte la demi-droite positive et conditionnée à mourir en 0.