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February 2008 Invariance principles for random walks conditioned to stay positive
Francesco Caravenna, Loïc Chaumont
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44(1): 170-190 (February 2008). DOI: 10.1214/07-AIHP119

Abstract

Let {Sn} be a random walk in the domain of attraction of a stable law $\mathcal{Y}$, i.e. there exists a sequence of positive real numbers (an) such that Sn/an converges in law to $\mathcal{Y}$. Our main result is that the rescaled process (Snt/an, t≥0), when conditioned to stay positive, converges in law (in the functional sense) towards the corresponding stable Lévy process conditioned to stay positive. Under some additional assumptions, we also prove a related invariance principle for the random walk killed at its first entrance in the negative half-line and conditioned to die at zero.

Soit {Sn} une marche aléatoire dont la loi est dans le domaine d’attraction d’une loi stable $\mathcal{Y}$, i.e. il existe une suite de réels positifs (an) telle que Sn/an converge en loi vers $\mathcal{Y}$. Nous montrons que le processus renormalisé (Snt/an, t≥0), une fois conditionné à rester positif, converge en loi (au sens fonctionnel) vers le processus de Lévy stable de loi $\mathcal{Y}$ conditionné à rester positif. Sous certaines hypothèses supplémentaires, nous montrons un principe d’invariance pour cette marche aléatoire tuée lorsqu’elle quitte la demi-droite positive et conditionnée à mourir en 0.

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Francesco Caravenna. Loïc Chaumont. "Invariance principles for random walks conditioned to stay positive." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44 (1) 170 - 190, February 2008. https://doi.org/10.1214/07-AIHP119

Information

Published: February 2008
First available in Project Euclid: 25 February 2008

zbMATH: 1175.60029
MathSciNet: MR2451576
Digital Object Identifier: 10.1214/07-AIHP119

Subjects:
Primary: 60B10 , 60G18 , 60G51

Keywords: Conditioning to stay positive , invariance principle , Lévy process , Random walk , Stable law

Rights: Copyright © 2008 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
21 PAGES


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Vol.44 • No. 1 • February 2008
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