Invariance principles for random walks conditioned to stay positive

Abstract

Let {S_n} be a random walk in the domain of attraction of a stable law $\mathcal{Y}$, i.e. there exists a sequence of positive real numbers (a_n) such that S_n/a_n converges in law to $\mathcal{Y}$. Our main result is that the rescaled process (S_⌊nt⌋/a_n, t≥0), when conditioned to stay positive, converges in law (in the functional sense) towards the corresponding stable Lévy process conditioned to stay positive. Under some additional assumptions, we also prove a related invariance principle for the random walk killed at its first entrance in the negative half-line and conditioned to die at zero.

Soit {S_n} une marche aléatoire dont la loi est dans le domaine d’attraction d’une loi stable $\mathcal{Y}$, i.e. il existe une suite de réels positifs (a_n) telle que S_n/a_n converge en loi vers $\mathcal{Y}$. Nous montrons que le processus renormalisé (S_⌊nt⌋/a_n, t≥0), une fois conditionné à rester positif, converge en loi (au sens fonctionnel) vers le processus de Lévy stable de loi $\mathcal{Y}$ conditionné à rester positif. Sous certaines hypothèses supplémentaires, nous montrons un principe d’invariance pour cette marche aléatoire tuée lorsqu’elle quitte la demi-droite positive et conditionnée à mourir en 0.