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February 2008 A lower bound for the principal eigenvalue of the Stokes operator in a random domain
V. V. Yurinsky
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44(1): 1-18 (February 2008). DOI: 10.1214/07-AIHP136

Abstract

This article is dedicated to localization of the principal eigenvalue (PE) of the Stokes operator acting on solenoidal vector fields that vanish outside a large random domain modeling the pore space in a cubic block of porous material with disordered micro-structure. Its main result is an asymptotically deterministic lower bound for the PE of the sum of a low compressibility approximation to the Stokes operator and a small scaled random potential term, which is applied to produce a similar bound for the Stokes PE. The arguments are based on the method proposed by F. Merkl and M. V. Wütrich for localization of the PE of the Schrödinger operator in a similar setting. Some additional work is needed to circumvent the complications arising from the restriction to divergence-free vector fields of the class of test functions in the variational characterization of the Stokes PE.

Cet article est dédié à l’étude de la localisation de la valeur propre principale (VPP) de l’opérateur de Stokes sous la condition de Dirichlet sur la frontière d’un grand domaine aléatoire qui modélise l’espace des pores d’ un bloc cubique de matière poreuse dotée d’une microstructure désordonnée. Le résultat principal est une borne inférieure asymptotiquement déterministe pour la VPP de l’opérateur correspondant á l’écoulement d’un liquide peu compressible en présence d’un petit potentiel positif aléatoire. Les arguments sont fondés sur la méthode proposée par F. Merkl et M. V. Wütrich pour localiser la VPP de l’opérateur de Schrödinger dans une situation similaire. Des efforts supplémentaires sont nécessaires pour combattre les complications provenant de la réduction à la classe de champs vectoriels de divergence nulle de la famille des fonctions utilisées pour caractériser la VPP de l’opérateur de Stokes par une formule variationnelle.

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V. V. Yurinsky. "A lower bound for the principal eigenvalue of the Stokes operator in a random domain." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44 (1) 1 - 18, February 2008. https://doi.org/10.1214/07-AIHP136

Information

Published: February 2008
First available in Project Euclid: 25 February 2008

zbMATH: 1173.82333
MathSciNet: MR2451568
Digital Object Identifier: 10.1214/07-AIHP136

Subjects:
Primary: 60H25 , 60K40 , 82B44
Secondary: 35P15 , 35Q30 , 47B80 , 76S05 , 82D30

Keywords: Chess-board structure , Infinite volume asymptotics , Principal eigenvalue , Random porous medium , Scaled random potential , Stokes flow

Rights: Copyright © 2008 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
18 PAGES


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Vol.44 • No. 1 • February 2008
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