Abstract
The normalised volume measure on the ℓnp unit ball (1≤p≤2) satisfies the following isoperimetric inequality: the boundary measure of a set of measure a is at least cn1/pãlog1−1/p(1/ã), where ã=min(a, 1−a).
Nous prouvons une inégalité isopérimétrique pour la mesure uniforme Vp,n sur la boule unité de ℓnp (1≤p≤2). Si Vp,n(A)=a, alors V+p,n(A)≥cn1/pãlog1−1/p1/ã, où V+p,n est la mesure de surface associée à Vp,n, ã=min(a, 1−a) et c est une constante absolue.
En particulier, les boules unités de ℓnp vérifient la conjecture de Kannan–Lovász–Simonovits (Discrete Comput. Geom. 13 (1995)) sur la constante de Cheeger d’un corps convexe isotrope.
La démonstration s’appuie sur les inégalités isopérimétriques de Bobkov (Ann. Probab. 27 (1999)) et de Barthe–Cattiaux–Roberto (Rev. Math. Iberoamericana 22 (2006)), et utilise la représentation de Vp,n établie par Barthe–Guédon–Mendelson–Naor (Ann. Probab. 33 (2005)) ainsi qu’un argument de découpage.
Citation
Sasha Sodin. "An isoperimetric inequality on the ℓp balls." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44 (2) 362 - 373, April 2008. https://doi.org/10.1214/07-AIHP121
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