Mesoscopic central limit theorem for general $\beta$-ensembles

Abstract

We prove that the linear statistics of eigenvalues of $\beta$-log gases satisfying the one-cut and off-critical assumption with a potential $V\in C^{7}(\mathbb{R})$ satisfy a central limit theorem at all mesoscopic scales $\alpha\in(0;1)$. We prove this for compactly supported test functions $f\in C^{6}(\mathbb{R})$ using loop equations at all orders along with rigidity estimates.

Nous prouvons que les statistiques linéaires du $\beta$-gaz de Coulomb confiné par un potentiel $V\in C^{7}(\mathbb{R})$ et avec une mesure d’équilibre non critique à support connexe satisfont un théorème central limite à toutes les échelles mésoscopiques $\alpha\in(0;1)$. Nous prouvons ce résultat pour toute fonction test $f\in C^{6}(\mathbb{R})$ à support compact en utilisant les équations de boucles et des estimées de rigidité.