Brownian motion and random walk above quenched random wall

Abstract

We study the persistence exponent for the first passage time of a random walk below the trajectory of another random walk. More precisely, let $\{B_{n}\}$ and $\{W_{n}\}$ be two centered, weakly dependent random walks. We establish that $\mathbb{P}(\forall_{n\leq N}B_{n}\geq W_{n}\vert W)=N^{-\gamma+o(1)}$ for a non-random $\gamma\geq1/2$. In the classical setting, $W_{n}\equiv0$, it is well-known that $\gamma=1/2$. We prove that for any non-trivial $W$ one has $\gamma>1/2$ and the exponent $\gamma$ depends only on $\operatorname{Var}(B_{1})/\operatorname{Var}(W_{1})$. Our result holds also in the continuous setting, when $B$ and $W$ are independent and possibly perturbed Brownian motions or Ornstein–Uhlenbeck processes. In the latter case the probability decays at exponential rate.

On s’intéresse à l’exposant de persistance du temps de premier passage d’une marche aléatoire en-dessous de la trajectoire d’une autre marche aléatoire. Plus précisément, étant données deux marches aléatoires $\{B_{n}\}$ et $\{W_{n}\}$, centrées et faiblement corrélées, on établit que $\mathbb{P}(\forall_{n\leq N}B_{n}\geq W_{n}\vert W)=N^{-\gamma+o(1)}$ pour un certain exposant $\gamma\geq1/2$ déterministe. Il est bien connu que lorsque $W_{n}\equiv0$, on a $\gamma=1/2$. On prouve ici que lorsque $W$ n’est pas la marche nulle, alors $\gamma>1/2$, et dépend seulement du rapport $\operatorname{Var}(B_{1})/\operatorname{Var}(W_{1})$. Notre résultat est également valable en temps continu, lorsque $B$ et $W$ sont des mouvements browniens ou des processus d’Ornstein–Uhlenbeck indépendants. Dans ce dernier cas cependant, la queue du temps de premier passage décroit à taux exponentiel.