We prove that the random variable $\mathcal{T}=\operatorname{arg\,max}_{t\in\mathbb{R}}\{\mathcal{A}_{2}(t)-t^{2}\}$, where $\mathcal{A}_{2}$ is the $\mathrm{Airy}_{2}$ process, has tails which decay like $\mathrm{e}^{-ct^{3}}$. The distribution of $\mathcal{T}$ is a universal distribution which governs the rescaled endpoint of directed polymers in $1+1$ dimensions for large time or temperature.

Nous prouvons qu’une variable aléatoire $\mathcal{T}=\operatorname{arg\,max}_{t\in\mathbb{R}}\{\mathcal{A}_{2}(t)-t^{2}\}$, où $\mathcal{A}_{2}$ est un processus $\mathrm{Airy}_{2}$ a une queue qui décroît comme $\mathrm{e}^{-ct^{3}}$. La distribution de $\mathcal{T}$ est une distribution universelle qui gouverne la position du point final d’un polymère dirigé en dimension $1+1$ à temps grand ou à grande température.

We study the asymptotic behavior of a class of stochastic dynamics on interlacing particle configurations (also known as Gelfand–Tsetlin patterns). Examples of such dynamics include, in particular, a multi-layer extension of TASEP and particle dynamics related to the shuffling algorithm for domino tilings of the Aztec diamond. We prove that the process of reflected interlacing Brownian motions introduced by Warren in (Electron. J. Probab. 12 (2007) 573–590) serves as a universal scaling limit for such dynamics.

Nous étudions le comportement asymptotique d’une classe de dynamiques aléatoires sur des configurations entrelacées de particules (dites aussi motifs de Gelfand–Tsetlin). Des exemples de telles dynamiques incluent, en particulier, une extension à plusieurs niveaux du TASEP et des dynamiques de particules reliées à l’algorithme de mélange pour les pavages par dominos du diamant aztèque. Nous montrons que le processus des mouvements browniens réfléchis entrelacés introduit par Warren dans (Electron. J. Probab. 12 (2007) 573–590) est une limite d’échelle universelle pour ces dynamiques.

The purpose of this article is to develop a theory behind the occurrence of “path-integral” kernels in the study of extended determinantal point processes and non-intersecting line ensembles. Our first result shows how determinants involving such kernels arise naturally in studying ratios of partition functions and expectations of multiplicative functionals for ensembles of non-intersecting paths on weighted graphs. Our second result shows how Fredholm determinants with extended kernels (as arise in the study of extended determinantal point processes such as the $\operatorname{Airy}_{2}$ process) are equal to Fredholm determinants with path-integral kernels. We also show how the second result applies to a number of examples including the stationary (GUE) Dyson Brownian motion, the $\operatorname{Airy}_{2}$ process, the Pearcey process, the $\operatorname{Airy}_{1}$ and $\operatorname{Airy}_{2\to1}$ processes, and Markov processes on partitions related to the $z$-measures.

Le but de cet article est de développer une théorie autour des noyaux de la forme « intégrale de chemin » qui apparaissent dans l’étude des processus déterminantaux et des familles de chemins sans intersection. Notre premier résultat montre comment des déterminants avec de tels noyaux apparaissent naturellement dans l’étude du quotient de fonctions de partition et d’espérances de fonctionnelles pour des familles de chemins sans intersection sur des graphes avec des pondérations. Notre second résultat montre comment les déterminants de Fredholm avec des noyaux étendus (comme ceux que l’on trouve dans le cas du processus déterminantal $\operatorname{Airy}_{2}$) sont égaux à des déterminants de Fredholm avec des noyaux de la forme « intégrale de chemin ». Nous montrons aussi comment ce second résultat s’applique à une grande variété d’exemples dont le mouvement Brownien stationnaire de Dyson, le processus $\operatorname{Airy}_{2}$, le processus de Pearcey, les processus $\operatorname{Airy}_{1}$ et $\operatorname{Airy}_{2\to1}$ ainsi que les processus de Markov sur les partitions reliées aux $z$-mesures.

Consider a lattice gas evolving according to the conservative Kawasaki dynamics at inverse temperature $\beta$ on a two dimensional torus $\varLambda _{L}=\{0,\dots,L-1\}^{2}$. We prove the tunneling behavior of the process among the states of minimal energy. More precisely, assume that there are $n^{2}$ particles, $n<L/2$, and that the initial state is the configuration in which all sites of the square $\{0,\dots,n-1\}^{2}$ are occupied. We show that in the time scale $\mathrm{e}^{2\beta}$ the process evolves as a Markov process on $\varLambda _{L}$ which jumps from any site $\mathbf{x}$ to any other site $\mathbf{y}\neq\mathbf{x}$ at a strictly positive rate which can be expressed in terms of the hitting probabilities of simple Markovian dynamics.

On considère un gaz sur réseau évoluant selon la dynamique de Kawasaki à température inverse $\beta$ sur le tore bi-dimensionel $\varLambda _{L}=\{0,\dots,L-1\}^{2}$. Nous étudions l’évolution du processus parmi les états d’énergie minimale.

Supposons la présence de $n^{2}$ particules, $n<L/2$ et qu’á l’état initial les sites du carré $\{0,\dots,n-1\}^{2}$ soient tous occupés. Nous montrons qu’á l’échelle de temps $\mathrm{e}^{2\beta}$ le processus évolue comme une chaîne de Markov sur $\varLambda _{L}$ qui saute d’un site $\mathbf{x}$ vers un site $\mathbf{y}\neq\mathbf{x}$ à un taux strictement positif qui peut-être exprimé en terme de probabilités d’atteinte de dynamiques markoviennes élémentaires.

The purpose of the present paper is to establish explicit upper and lower bounds on moderate deviation probabilities for a rather general class of geometric functionals enjoying the stabilization property, under Poisson input and the assumption of a certain control over the growth of the moments of the functional and its radius of stabilization. Our proof techniques rely on cumulant expansions and cluster measures. In addition, we establish a new criterion for the limiting variance to be non-degenerate. Moreover, our main result provides a new central limit theorem, which, though stated under strong moment assumptions, does not require bounded support of the intensity of the Poisson input. We apply our results to three groups of examples: random packing models, geometric functionals based on Euclidean nearest neighbors and the sphere of influence graphs.

L’objectif de cet article est d’établir une majoration et une minoration explicite pour les probabilités des déviations modérées d’une classe assez générale de fonctionnelles géométriques possédant une propriété de stabilisation pour des données de Poisson et sous l’hypothèse d’un contrôle de la croissance des moments de la fonctionnelle et de son rayon de stabilisation. Les techniques utilisées dans les preuves reposent sur des développements de cumulants et des mesures de clusters. En outre, nous proposons un nouveau critère pour que la variance limite soit non-dégénérée. De plus, notre résultat principal fournit un nouveau théorème central limite, qui, bien que formulé sous une hypothèse assez forte sur les moments, ne nécessite pas que l’intensité des données de Poisson ait un support borné. Nous appliquons nos résultats à trois groupes d’exemples: les modèles de pavages aléatoires, les fonctionnelles géométriques dépendantes des voisins les plus proches en distance euclidienne et les graphes des sphères d’influence.

We consider a class of parabolic semi-linear stochastic partial differential equations driven by space–time white noise on a compact space interval. Our aim is to obtain precise asymptotics of the transition times between metastable states. A version of the so-called Eyring–Kramers formula is proven in an infinite dimensional setting. The proof is based on a spatial finite difference discretization of the stochastic partial differential equation. The expected transition time is computed for the finite dimensional approximation and controlled uniformly in the dimension.

Nous nous intéressons à une famille d’équations aux dérivées partielles stochastiques paraboliques et semi-linéaires, perturbées par un bruit blanc en espace-temps, définies sur un intervalle réel compact. Nous cherchons à calculer les asymptotiques précises des espérances des temps de transitions entre les états métastables. Nous démontrons dans ce cadre une version en dimension infinie de la formule dite d’Eyring–Kramers. La preuve repose sur l’approximation par un schéma aux différences finies de l’équation aux dérivées partielles stochastique. L’espérance du temps de transition est calculée pour l’approximation puis contrôlée uniformément quelque soit la dimension.

We consider a centered random walk with finite variance and investigate the asymptotic behaviour of the probability that the area under this walk remains positive up to a large time $n$. Assuming that the moment of order $2+\delta$ is finite, we show that the exact asymptotics for this probability is $n^{-1/4}$. To show this asymptotics we develop a discrete potential theory for integrated random walks.

Nous considérons une marche aléatoire centrée de variance finie et étudions le comportement asymptotique de la probabilité que l’aire sous la marche reste positive jusqu’à un grand temps $n$. Si le moment d’ordre $2+\delta$ est fini, nous montrons que cette probabilité décroit comme $n^{-1/4}$. Pour prouver ce comportement asymptotique, nous développons une théorie du potentiel discrète pour des marches aléatoires intégrées.

We consider the solution to the parabolic Anderson model with homogeneous initial condition in large time-dependent boxes. We derive stable limit theorems, ranging over all possible scaling parameters, for the rescaled sum over the solution depending on the growth rate of the boxes. Furthermore, we give sufficient conditions for a strong law of large numbers.

Nous considérons la solution du modèle parabolique d’Anderson avec condition initiale homogène sur de grandes boîtes dépendantes du temps. Nous dérivons des théorèmes limites stables, pour toutes les valeurs possibles des paramètres d’échelle, pour la somme de la solution changée d’échelle en fonction du taux de croissance des boîtes. De plus, nous donnons des conditions suffisantes pour une loi des grands nombres.

In this article we consider rough differential equations (RDEs) driven by non-geometric rough paths, using the concept of branched rough paths introduced in (J. Differential Equations 248 (2010) 693–721). We first show that branched rough paths can equivalently be defined as $\gamma$-Hölder continuous paths in some Lie group, akin to geometric rough paths. We then show that every branched rough path can be encoded in a geometric rough path. More precisely, for every branched rough path $\mathbf{X}$ lying above a path $X$, there exists a geometric rough path $\bar{\mathbf{X}}$ lying above an extended path $\bar{X}$, such that $\bar{\mathbf{X}}$ contains all the information of $\mathbf{X}$. As a corollary of this result, we show that every RDE driven by a non-geometric rough path $\mathbf{X}$ can be rewritten as an extended RDE driven by a geometric rough path $\bar{\mathbf{X}}$. One could think of this as a generalisation of the Itô–Stratonovich correction formula.

Dans cet article, nous considérons des équations différentielles conduites par des trajectoires rugueuses non-géométriques en utilisant le concept de trajectoire rugueuse ramifiée introduit dans (J. Differential Equations 248 (2010) 693–721). Nous montrons d’abord que celles-ci peuvent être définies de manière équivalente comme une fonction $\gamma$-Hölderienne à valeurs dans un certain groupe de Lie, comme c’est le cas pour les trajectoires rugueuses dites « géométriques » . Nous montrons ensuite que toute trajectoire rugueuse ramifiée peut être encodée par une trajectoire rugueuse géométrique. Plus précisément, pour toute trajectoire rugueuse ramifiée $\mathbf{X}$ définie au-dessus d’une trajectoire $X$, il existe une trajectoire rugueuse géométrique $\bar{\mathbf{X}}$ définie au-dessus d’une trajectoire étendue $\bar{X}$, de manière à ce que $\bar{\mathbf{X}}$ contienne toute l’information de $\mathbf{X}$. Il en suit que toute équation différentielle conduite par $\mathbf{X}$ peut être reformulée comme une équation différentielle modifiée conduite par $\bar{\mathbf{X}}$. On peut interpréter ceci comme une généralisation de la formule de correction Itô–Stratonovich.

In the present paper we obtain rates of convergence for the limit theorems of the density vector in the Curie–Weiss–Potts model via Stein’s Method of exchangeable pairs. Our results include Kolmogorov bounds for multivariate normal approximation in the whole domain $\beta\geq0$ and $h\geq0$, where $\beta$ is the inverse temperature and $h$ an exterior field. In this model, the critical line $\beta=\beta_{c}(h)$ is explicitly known and corresponds to a first order transition. We include rates of convergence for non-Gaussian approximations at the extremity of the critical line of the model.

Dans cet article, nous obtenons des taux de convergence pour les vecteurs de densité dans le modèle de Curie–Weiss–Potts via la méthode de Stein des paires échangeables. Nos résultats incluent des bornes de Kolmogorov pour l’approximation normale multivariée dans tout le domaine $\beta\geq0$ et $h\geq0$, où $\beta$ est l’inverse de la température et $h$ un champ extérieur. Dans ce modèle, la ligne critique $\beta=\beta_{c}(h)$ est explicitement connue et correspond à une transition du premier ordre. Nous incluons des taux de convergence pour des approximations non-gaussiennes au bord de la ligne critique du modèle.

We investigate the average characteristic polynomial $\mathbb{E}[\prod_{i=1}^{N}(z-x_{i})]$ where the $x_{i}$’s are real random variables drawn from a Biorthogonal Ensemble, i.e. a determinantal point process associated with a bounded finite-rank projection operator. For a subclass of Biorthogonal Ensembles, which contains Orthogonal Polynomial Ensembles and (mixed-type) Multiple Orthogonal Polynomial Ensembles, we provide a sufficient condition for its limiting zero distribution to match with the limiting distribution of the random variables, almost surely, as $N$ goes to infinity. Moreover, such a condition turns out to be sufficient to strengthen the mean convergence to the almost sure one for the moments of the empirical measure associated to the determinantal point process, a fact of independent interest. As an application, we obtain from Voiculescu’s theorems the limiting zero distribution for multiple Hermite and multiple Laguerre polynomials, expressed in terms of free convolutions of classical distributions with atomic measures, and then derive explicit algebraic equations for their Cauchy–Stieltjes transform.

On s’intéresse au polynôme caractéristique moyen $\mathbb{E}[\prod_{i=1}^{N}(z-x_{i})]$ associé à des variables aléatoires réelles $x_{1},\ldots,x_{N}$ qui forment un Ensemble Biorthogonal, c’est-à-dire un processus ponctuel déterminantal associé à un opérateur de projection borné et de rang fini. Pour une sous-classe d’Ensembles Biorthogonaux, qui contient les Ensembles Polynômes Orthogonaux et les Ensembles Polynômes Orthogonaux Multiples (de type mixte), nous obtenons une condition suffisante pour que, presque sûrement, la distribution limite de ses zéros coincide avec la distribution limite des variables aléatoires, quand $N$ tend vers l’infini. De plus, cette condition s’avère être également suffisante pour améliorer la convergence en moyenne en convergence presque sûre pour les moments de la mesure empirique associée au processus ponctuel déterminantal. En application, on obtient avec des théorèmes de Voiculescu une description pour les distributions limites des zéros des polynômes d’Hermite et de Laguerre multiples, en termes de convolutions libres de lois classiques avec des mesures atomiques, ainsi que des équations algébriques explicites pour leurs transformées de Cauchy–Stieltjes.

Consider biased random walks on two Galton–Watson trees without leaves having progeny distributions $P_{1}$ and $P_{2}$ ($\mathrm{GW}(P_{1})$ and $\mathrm{GW}(P_{2})$) where $P_{1}$ and $P_{2}$ are supported on positive integers and $P_{1}$ dominates $P_{2}$ stochastically. We prove that the speed of the walk on $\mathrm{GW}(P_{1})$ is bigger than the same on $\mathrm{GW}(P_{2})$ when the bias is larger than a threshold depending on $P_{1}$ and $P_{2}$. This partially answers a question raised by Ben Arous, Fribergh and Sidoravicius (Comm. Pure Appl. Math. 67 (2014) 519–530).

Nous considérons des marches aléatoires biaisées sur deux arbres de Galton–Watson sans feuilles $\mathrm{GW}(P_{1})$ et $\mathrm{GW}(P_{2})$ ayant des lois de reproduction respectivement $P_{1}$ et $P_{2}$, deux lois supportées par les entiers positifs telles que $P_{1}$ domine stochastiquement $P_{2}$. Nous prouvons que la vitesse de la marche sur $\mathrm{GW}(P_{1})$ est supérieure ou égale á celle sur $\mathrm{GW}(P_{2})$ si le biais est plus grand qu’un seuil dépendant de $P_{1}$ et $P_{2}$. Ceci répond partiellement á une question posée par Ben Arous, Fribergh et Sidoravicius (Comm. Pure Appl. Math. 67 (2014) 519–530).

We consider a general multidimensional affine recursion with corresponding Markov operator $P$ and a unique $P$-stationary measure. We show spectral gap properties on Hölder spaces for the corresponding Fourier operators and we deduce convergence to stable laws for the Birkhoff sums along the recursion. The parameters of the stable laws are expressed in terms of basic quantities depending essentially on the matricial multiplicative part of $P$. Spectral gap properties of $P$ and homogeneity at infinity of the $P$-stationary measure play an important role in the proofs.

Nous considérons une relation de récurrence affine multidimensionelle à coefficients aléatoires et nous supposons que l’opérateur de Markov $P$ associé a une unique probabilité stationnaire. Nous montrons la propriété de trou spectral pour les opérateurs de Fourier correspondants sur certains espaces de fonctions Holdériennes, et nous en déduisons la convergence vers des lois stables pour les sommes de Birkhoff le long des trajectoires. Les paramètres des lois stables obtenues s’expriment à l’aide de quantités dépendant essentiellement de la partie multiplicative de $P$. La preuve est basée sur les propriétés spectrales de l’opérateur de Markov associé et l’homogénéité à l’infini de la mesure stationnaire.

It is shown how to construct $*$-homomorphic quantum stochastic Feller cocycles for certain unbounded generators, and so obtain dilations of strongly continuous quantum dynamical semigroups on $C^{*}$ algebras; this generalises the construction of a classical Feller process and semigroup from a given generator. Our construction is possible provided the generator satisfies an invariance property for some dense subalgebra $\mathcal{A}_{0}$ of the $C^{*}$ algebra $\mathcal{A}$ and obeys the necessary structure relations; the iterates of the generator, when applied to a generating set for $\mathcal{A}_{0}$, must satisfy a growth condition. Furthermore, it is assumed that either the subalgebra $\mathcal{A}_{0}$ is generated by isometries and $\mathcal{A}$ is universal, or $\mathcal{A}_{0}$ contains its square roots. These conditions are verified in four cases: classical random walks on discrete groups, Rebolledo’s symmetric quantum exclusion process and flows on the non-commutative torus and the universal rotation algebra.

Des cocycles de Feller stochastiques quantiques $*$-homomorphes sont construits pour certains générateurs non bornés, et ainsi nous obtenons des dilatations pour des semigroupes dynamiques quantiques fortement continus sur des $C^{*}$ algèbres. Ceci généralise la construction d’un processus de Feller classique et de son semigroupe à partir d’un générateur donné. Notre construction est possible à condition que le générateur satisfasse une propriété d’invariance pour une sous-algèbre dense $\mathcal{A}_{0}$ de la $C^{*}$ algèbre $\mathcal{A}$ et obéisse aux relations de structure nécessaires; les itérations du générateur, lorsqu’elles sont appliquées à une famille génératrice de $\mathcal{A}_{0}$, doivent satisfaire à une condition de croissance. De plus, il est supposé que soit la sous-algèbre $\mathcal{A}_{0}$ est engendrée par les isométries et $\mathcal{A}$ est universelle, ou bien $\mathcal{A}_{0}$ contient ses racines carrées. Ces conditions sont vérifiées dans quatre cas: marches aléatoires classiques sur les groupes discrets, le processus d’exclusion quantique symétrique introduit par Rebolledo et des flux sur le tore non commutatif et l’algèbre de rotation universelle.

Approximate Bayesian Computation (ABC for short) is a family of computational techniques which offer an almost automated solution in situations where evaluation of the posterior likelihood is computationally prohibitive, or whenever suitable likelihoods are not available. In the present paper, we analyze the procedure from the point of view of $k$-nearest neighbor theory and explore the statistical properties of its outputs. We discuss in particular some asymptotic features of the genuine conditional density estimate associated with ABC, which is an interesting hybrid between a $k$-nearest neighbor and a kernel method.

Le terme anglais « Approximate Bayesian Computation » (ABC en abrégé) désigne une famille de techniques bayésiennes ayant pour objet la simulation selon une loi de probabilité lorsque la vraisemblance a posteriori n’est pas disponible ou s’avère impossible à évaluer numériquement. Dans le présent article, nous envisageons cette procédure du point de vue de la théorie des $k$-plus proches voisins, en nous attachant plus particulièrement à examiner les propriétés statistiques des sorties de l’algorithme. Cela nous conduit à analyser le comportement asymptotique d’un estimateur de la densité conditionnelle naturellement associé à ABC, utilisé en pratique et possédant à la fois les caractéristiques d’un estimateur des $k$-plus proches voisins et celles d’une méthode à noyau.