Consider a stochastic heat equation ∂_tu=κ ∂_xx²u+σ(u)ẇ for a space–time white noise ẇ and a constant κ>0. Under some suitable conditions on the initial function u₀ and σ, we show that the quantities

lim sup _t→∞t⁻¹sup _x∈Rln El(|u_t(x)|²) and lim sup _t→∞t⁻¹ln E(sup _x∈R|u_t(x)|²)

are equal, as well as bounded away from zero and infinity by explicit multiples of 1/κ. Our proof works by demonstrating quantitatively that the peaks of the stochastic process x↦u_t(x) are highly concentrated for infinitely-many large values of t. In the special case of the parabolic Anderson model – where σ(u)=λu for some λ>0 – this “peaking” is a way to make precise the notion of physical intermittency.

Nous considérons l’équation de la chaleur stochastique ∂_tu=κ∂_xx²u+σ(u)ẇ avec un bruit blanc spatio-temporel ẇ et une constante κ>0. Sous des conditions adéquates sur la condition initiale u₀ et sur σ, nous montrons que les quantités

lim sup _t→∞t⁻¹sup _x∈Rln E(|u_t(x)|²) et lim sup _t→∞t⁻¹ln E(sup _x∈R|u_t(x)|²)

sont égales. Par ailleurs, nous les bornons inférieurement et supérieurement par des constantes strictement positives et finies dépendant explicitement de 1/κ. Nos démonstrations reposent sur la preuve quantitative de la forte concentration des pics du processus x↦u_t(x) pour de grandes valeurs de t infiniment nombreuses. Dans le cas particulier du modèle d’Anderson parabolique-où σ(u)=λu pour un λ>0 – ce phénomène de pics est une façon de préciser la notion physique d’intermittence.

For a class of degenerate diffusion processes of rank 2, i.e. when only Poisson brackets of order one are needed to span the whole space, we obtain a parametrix representation of McKean–Singer [J. Differential Geom. 1 (1967) 43–69] type for the density. We therefrom derive an explicit Gaussian upper bound and a partial lower bound that characterize the additional singularity induced by the degeneracy.

This particular representation then allows to give a local limit theorem with the usual convergence rate for an associated Markov chain approximation. The key point is that the “weak” degeneracy allows to exploit the techniques first introduced in Konakov and Molchanov [Teor. Veroyatn. Mat. Statist. 31 (1984) 51–64] and then developed in [Probab. Theory Related Fields 117 (2000) 551–587] that rely on Gaussian approximations.

Pour une classe de processus de diffusion de rang deux, i.e. lorsque seuls des crochets de Poisson d’ordre un permettent d’engendrer l’espace, nous obtenons une représentation parametrix de type McMean–Singer [J. Differential Geom. 1 (1967) 43–69] de la densité. Nous en dérivons une borne supérieure Gaussienne explicite et une borne inférieure partielle qui caractérisent la singularité additionnelle induite par la dégénérescence.

Nous donnons ensuite un théorème limite local pour une approximation par chaîne de Markov associée. Le point crucial est que la faible dégénérescence permet d’exploiter les techniques initialement introduites par Konakov et Molchanov [Teor. Veroyatn. Mat. Statist. 31 (1984) 51–64] puis développées dans [Probab. Theory Related Fields 117 (2000) 551–587] et qui reposent sur des approximations Gaussiennes.

Quantum trajectories are solutions of stochastic differential equations obtained when describing the random phenomena associated to quantum continuous measurement of open quantum system. These equations, also called Belavkin equations or Stochastic Master equations, are usually of two different types: diffusive and of Poisson-type. In this article, we consider more advanced models in which jump–diffusion equations appear. These equations are obtained as a continuous time limit of martingale problems associated to classical Markov chains which describe quantum trajectories in a discrete time model. The results of this article goes much beyond those of [Ann. Probab. 36 (2008) 2332–2353] and [Existence, uniqueness and approximation for stochastic Schrödinger equation: The Poisson case (2007)]. The probabilistic techniques, used here, are completely different in order to merge these two radically different situations: diffusion and Poisson-type quantum trajectories.

Les trajectoires quantiques sont des solutions d’équations différentielles stochastiques décrivant des phénomènes aléatoires associés aux prinicpes de mesure (quantique) des systèmes quantiques ouverts. Ces équations, également appelées équations de Belavkin ou équations maîtresses stochastiques sont habituellement de deux types: soit diffusif soit de type saut. Dans cet article, nous considérons des modèles plus avancés où des équations de type saut-diffusion apparaissent. Ces équations sont obtenues comme solutions de problèmes de martingales. Ces problèmes de martingales sont obtenus comme limites continus (en temps) à partir de chaînes de Markov classiques décrivant des trajectoires quantiques pour des modèles à temps discret. Les résultats de cet article généralisent ceux de [Ann. Probab. 36 (2008) 2332–2353] et [Existence, uniqueness and approximation for stochastic Schrödinger equation: The Poisson case (2007)]. Ici, les techniques probabilistes utilisés sont complétement différentes afin de pouvoir mixer les deux types d’évolutions: diffusives et poissoniennes.

Consider a variant of the simple random walk on the integers, with the following transition mechanism. At each site x, the probability of jumping to the right is ω(x)∈[½, 1), until the first time the process jumps to the left from site x, from which time onward the probability of jumping to the right is ½. We investigate the transience/recurrence properties of this process in both deterministic and stationary, ergodic environments {ω(x)}_x∈Z. In deterministic environments, we also study the speed of the process.

Considérons une variante de la marche aléatoire simple et symétrique sur les entiers, avec le mécanisme de transition suivant: A chaque site x, la probabilité de sauter à droite est ω(x)∈[½, 1), jusqu’à la première fois que le processus saute à gauche du site x, après laquelle la probabilité de sauter à droite est ½. Nous examinons les propriétés de transience/recurrence pour ce processus, dans les environnements déterministes et aussi dans les environnements stationnaires et ergodiques {ω(x)}_x∈Z. Dans les environnements déterministes, nous étudions aussi la vitesse du processus.

A description of the short time behavior of solutions of the Allen–Cahn equation with a smoothened additive noise is presented. The key result is that in the sharp interface limit solutions move according to motion by mean curvature with an additional stochastic forcing. This extends a similar result of Funaki [Acta Math. Sin (Engl. Ser.) 15 (1999) 407–438] in spatial dimension n=2 to arbitrary dimensions.

On étudie le comportement de la solution de l’équation de Allen–Cahn perturbée par un bruit stochastique additif et regularisé. Il est demontré que, dans la limite d’un interface singulière, les solutions évoluent selon la courbure moyenne avec un renforcement stochastique additionel. Ceci généralise un résultat de Funaki [Acta Math. Sin (Engl. Ser.) 15 (1999) 407–438] pour la dimension spatial d=2 à une dimension quelquonque.

The model of random interlacements on ℤ^d, d≥3, was recently introduced in [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints]. A non-negative parameter u parametrizes the density of random interlacements on ℤ^d. In the present note we investigate connectivity properties of the vacant set left by random interlacements at level u, in the non-percolative regime u>u_∗, with u_∗ the non-degenerate critical parameter for the percolation of the vacant set, see [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints], [Comm. Pure Appl. Math. 62 (2009) 831–858]. We prove a stretched exponential decay of the connectivity function for the vacant set at level u, when u>u_∗∗, where u_∗∗ is another critical parameter introduced in [Ann. Probab. 37 (2009) 1715–1746]. It is presently an open problem whether u_∗∗ actually coincides with u_∗.

Le modèle des entrelacs aléatoires sur ℤ^d, d≥3, a été récemment introduit dans [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints]. Un nombre positif ou nul u contrôle la densité des entrelacs aléatoires sur ℤ^d. Dans la note présente, nous étudions les propriétés de connectivité du complémentaire de l’entrelac au niveau u, dans le régime non percolatif u>u_∗, avec u_∗ le nombre positif qui est le paramètre critique de la percolation du complémentaire des entrelacs, voir [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints], [Comm. Pure Appl. Math. 62 (2009) 831–858]. Nous montrons une propriété de décroissance sous-exponentielle de la fonction de connectivité au niveau u, lorsque u>u_∗∗, où u_∗∗ est un autre paramètre critique introduit dans [Ann. Probab. 37 (2009) 1715–1746]. La question de savoir si u_∗ et u_∗∗ sont égaux est pour le moment ouverte.

We identify the limit of the internal DLA cluster generated by Sinai’s walk as the law of a functional of a Brownian motion which turns out to be a new interpretation of the Arcsine law.

On détermine la loi limite du cluster de diffusion à agrégation limitée interne comme celle d’une fonctionnelle du mouvement brownien, qui donne une nouvelle interprétation de la loi de l’Arcsinus.

We study the simple random walk X on the range of simple random walk on ℤ³ and ℤ⁴. In dimension four, we establish quenched bounds for the heat kernel of X and max_0≤k≤n|X_k| which require extra logarithmic correction terms to the higher-dimensional case. In dimension three, we demonstrate anomalous behavior of X at the quenched level. In order to establish these estimates, we obtain several asymptotic estimates for cut times of simple random walk and asymptotic estimates for loop-erased random walk, which are of independent interest.

Nous étudions la marche aléatoire simple sur l’ensemble des points visités par une marche aléatoire simple sur ℤ³ et ℤ⁴. En dimension quatre, nous établissons des bornes presque sûres pour le noyau de la chaleur de X et pour max_0≤k≤n|X_k| qui nécessitent des termes correctifs logarithmiques. En dimension trois, nous montrons que X à un comportement non diffusif presque sûrement. Pour démontrer ces résultats, nous obtenons des estimées asymptotiques pour les temps de coupure de la marche aléatoire simple et pour la marche à boucles effacées qui sont intéressantes en elles-mêmes.

We study γ_k(x₂, …, x_k; t), the k-fold renormalized self-intersection local time for Brownian motion in R¹. Our main result says that γ_k(x₂, …, x_k; t) is continuously differentiable in the spatial variables, with probability 1.

Nous étudions γ_k(x₂, …, x_k; t), le temps local renormalisé d’auto-intersection d’ordre k du mouvement brownien dans R¹. Notre résultat principal montre que γ_k(x₂, …, x_k; t) est presque sûrement continûment différentiable dans les variables spatiales.

Penalisation involving the one-sided supremum for a stable Lévy process with index α∈(0, 2] is studied. We introduce the analogue of Azéma–Yor martingales for a stable Lévy process and give the law of the overall supremum under the penalised measure.

On étudie des pénalisations d’un processus de Lévy stable d’indice α∈(0, 2] qui font intervenir son supremum unilatéral. On introduit pour un processus de Lévy stable, des martingales analogues aux martingales d’Azéma–Yor pour le mouvement brownien et son supremum; ceci permet d’obtenir la loi du supremum global relativement à la mesure pénalisée.

In this paper, we prove some central and non-central limit theorems for renormalized weighted power variations of order q≥2 of the fractional Brownian motion with Hurst parameter H∈(0, 1), where q is an integer. The central limit holds for 1/2q<H≤1−1/2q, the limit being a conditionally Gaussian distribution. If H<1/2q we show the convergence in L² to a limit which only depends on the fractional Brownian motion, and if H>1−1/2q we show the convergence in L² to a stochastic integral with respect to the Hermite process of order q.

Dans ce papier, nous prouvons des théorèmes de la limite centrale et non-centrale pour les variations à poids d’ordre q du mouvement brownien fractionnaire d’indice H∈(0, 1), pour q un entier supérieur ou égal à 2. Il y a trois cas, suivant la position de H par rapport à 1/2q et 1−1/2q. Si 1/2q<H≤1−1/2q, nous montrons un théorème de la limite centrale vers une variable aléatoire de loi conditionnellement gaussienne. Si H<1/2q, nous montrons la convergence dans L² vers une limite qui dépend seulement du mouvement brownien fractionnaire. Si H>1−1/2q, nous montrons la convergence dans L² vers une intégrale stochastique par rapport au processus d’Hermite d’ordre q.

We study the entropy of the set traced by an n-step simple symmetric random walk on ℤ^d. We show that for d≥3, the entropy is of order n. For d=2, the entropy is of order n/log²n. These values are essentially governed by the size of the boundary of the trace.

Nous étudions l’entropie de la trace d’une marche aléatoire simple et symétrique de longueur n sur ℤ^d. Nous montrons que si d≥3, cette entropie est d’ordre n, tandis que pour d=2 elle est d’ordre n/log²n. Ces valeurs proviennent essentiellement de la taille de la frontière de la trace.

We consider the standard first passage percolation model in ℤ^d for d≥2. We are interested in two quantities, the maximal flow τ between the lower half and the upper half of the box, and the maximal flow ϕ between the top and the bottom of the box. A standard subadditive argument yields the law of large numbers for τ in rational directions. Kesten and Zhang have proved the law of large numbers for τ and ϕ when the sides of the box are parallel to the coordinate hyperplanes: the two variables grow linearly with the surface s of the basis of the box, with the same deterministic speed. We study the probabilities that the rescaled variables τ/s and ϕ/s are abnormally small. For τ, the box can have any orientation, whereas for ϕ, we require either that the box is sufficiently flat, or that its sides are parallel to the coordinate hyperplanes. We show that these probabilities decay exponentially fast with s, when s grows to infinity. Moreover, we prove an associated large deviation principle of speed s for τ/s and ϕ/s, and we improve the conditions required to obtain the law of large numbers for these variables.

Nous considérons le modèle standard de percolation de premier passage dans ℤ^d pour d≥2. Nous nous intéressons à deux quantités, le flux maximal τ entre la moitié inférieure et la moitié supérieure d’une boîte, et le flux maximal ϕ entre le sommet et la base de la boîte. Un argument sous-additif standard implique une loi des grands nombres pour τ dans les directions rationnelles. Kesten et Zhang ont prouvé que τ et ϕ suivent une loi des grands nombres quand les faces de la boîte sont parallèles aux hyperplans des coordonnées: les deux variables grandissent linéairement en la surface s de la base de la boîte, avec la même vitesse déterministe. Nous étudions les probabilités que les variables renormalisées τ/s et ϕ/s soient anormalement petites. Pour τ, la boîte peut avoir n’importe quelle orientation, tandis que pour ϕ, nous imposons soit que la boîte soit suffisamment plate, soit que ses faces soient parallèles aux hyperplans des coordonnées. Nous montrons que ces probabilités décroissent exponentiellement vite avec s, quand s tend vers l’infini. De plus, nous prouvons les principes de grandes déviations de vitesse s associés pour τ/s et ϕ/s, et nous améliorons les conditions requises pour obtenir la loi des grands nombres pour ces variables.

Attractiveness is a fundamental tool to study interacting particle systems and the basic coupling construction is a usual route to prove this property, as for instance in simple exclusion. The derived Markovian coupled process (ξ_t, ζ_t)_t≥0 satisfies:

(A) if ξ₀≤ζ₀ (coordinate-wise), then for all t≥0, ξ_t≤ζ_t a.s.

In this paper, we consider generalized misanthrope models which are conservative particle systems on ℤ^d such that, in each transition, k particles may jump from a site x to another site y, with k≥1. These models include simple exclusion for which k=1, but, beyond that value, the basic coupling construction is not possible and a more refined one is required. We give necessary and sufficient conditions on the rates to insure attractiveness; we construct a Markovian coupled process which both satisfies (A) and makes discrepancies between its two marginals non-increasing. We determine the extremal invariant and translation invariant probability measures under general irreducibility conditions. We apply our results to examples including a two-species asymmetric exclusion process with charge conservation (for which k≤2) which arises from a solid-on-solid interface dynamics, and a stick process (for which k is unbounded) in correspondence with a generalized discrete Hammersley–Aldous–Diaconis model. We derive the hydrodynamic limit of these two one-dimensional models.

L’attractivité est un outil fondamental d’étude des systèmes à une infinité de particules en interaction; la construction du couplage de base est la méthode habituelle pour démontrer cette propriété (par exemple pour l’exclusion simple). Le processus couplé markovien (ξ_t, ζ_t)_t≥0 obtenu vérifie:

(A) si ξ₀≤ζ₀ (coordonnée par coordonnée), alors pour tout t≥0, ξ_t≤ζ_t p.s.

Nous considérons dans cet article des systèmes de particules conservatifs sur ℤ^d qui généralisent le processus des misanthropes en ce que, à chaque transition, k particules peuvent sauter d’un site x vers un autre site y, avec k≥1. Ces modèles incluent l’exclusion simple, où k=1, mais, au-delà de cette valeur, le couplage de base n’est plus valide et il faut une autre construction. Nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes pour l’attractivité sur les taux de transition; nous construisons un processus couplé markovien qui à la fois satisfait (A), et fait décroitre les discrépances entre ses deux marginales. Nous déterminons les probabilités invariantes et invariantes par translation extrémales sous des conditions générales d’irréductibilité. Nous appliquons nos résultats à des exemples incluant un modèle d’exclusion asymétrique à deux espèces avec conservation de la charge (où k≤2) issu d’une dynamique d’interfaces ‘solid-on-solid’, et un modèle de batons (où k n’est pas borné) en correspondance avec un processus de Hammersley–Aldous–Diaconis discret généralisé. Nous obtenons la limite hydrodynamique de ces deux modèles unidimensionnels.

Let S=(S_k)_k≥0 be a random walk on ℤ and ξ=(ξ_i)_i∈ℤ a stationary random sequence of centered random variables, independent of S. We consider a random walk in random scenery that is the sequence of random variables (U_n)_n≥0, where

U_n=∑_k=0ⁿξ_Sk, n∈ℕ.

Under a weak dependence assumption on the scenery ξ we prove a functional limit theorem generalizing Kesten and Spitzer’s [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50 (1979) 5–25] theorem.

Soit S=(S_k)_k≥0 une marche aléatoire sur ℤ et ξ=(ξ_i)_i∈ℤ une suite stationnaire de variables aléatoires centrées, indépendante de S. Nous considérons une marche aléatoire en scène aléatoire définie par la suite de variables aléatoires (U_n)_n≥0=(∑_k=0ⁿξ_Sk)_n≥0. Sous une hypothèse de dépendance faible portant sur la scène ξ, nous montrons un théorème de la limite centrale fonctionnel généralisant le théorème de Kesten et Spitzer [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50 (1979) 5–25].