Connectivity bounds for the vacant set of random interlacements

Abstract

The model of random interlacements on ℤ^d, d≥3, was recently introduced in [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints]. A non-negative parameter u parametrizes the density of random interlacements on ℤ^d. In the present note we investigate connectivity properties of the vacant set left by random interlacements at level u, in the non-percolative regime u>u_∗, with u_∗ the non-degenerate critical parameter for the percolation of the vacant set, see [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints], [Comm. Pure Appl. Math. 62 (2009) 831–858]. We prove a stretched exponential decay of the connectivity function for the vacant set at level u, when u>u_∗∗, where u_∗∗ is another critical parameter introduced in [Ann. Probab. 37 (2009) 1715–1746]. It is presently an open problem whether u_∗∗ actually coincides with u_∗.

Le modèle des entrelacs aléatoires sur ℤ^d, d≥3, a été récemment introduit dans [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints]. Un nombre positif ou nul u contrôle la densité des entrelacs aléatoires sur ℤ^d. Dans la note présente, nous étudions les propriétés de connectivité du complémentaire de l’entrelac au niveau u, dans le régime non percolatif u>u_∗, avec u_∗ le nombre positif qui est le paramètre critique de la percolation du complémentaire des entrelacs, voir [Vacant set of random interlacements and percolation. Available at http://www.math.ethz.ch/u/sznitman/preprints], [Comm. Pure Appl. Math. 62 (2009) 831–858]. Nous montrons une propriété de décroissance sous-exponentielle de la fonction de connectivité au niveau u, lorsque u>u_∗∗, où u_∗∗ est un autre paramètre critique introduit dans [Ann. Probab. 37 (2009) 1715–1746]. La question de savoir si u_∗ et u_∗∗ sont égaux est pour le moment ouverte.