Limit theorem for random walk in weakly dependent random scenery

Abstract

Let S=(S_k)_k≥0 be a random walk on ℤ and ξ=(ξ_i)_i∈ℤ a stationary random sequence of centered random variables, independent of S. We consider a random walk in random scenery that is the sequence of random variables (U_n)_n≥0, where

U_n=∑_k=0ⁿξ_Sk, n∈ℕ.

Under a weak dependence assumption on the scenery ξ we prove a functional limit theorem generalizing Kesten and Spitzer’s [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50 (1979) 5–25] theorem.

Soit S=(S_k)_k≥0 une marche aléatoire sur ℤ et ξ=(ξ_i)_i∈ℤ une suite stationnaire de variables aléatoires centrées, indépendante de S. Nous considérons une marche aléatoire en scène aléatoire définie par la suite de variables aléatoires (U_n)_n≥0=(∑_k=0ⁿξ_Sk)_n≥0. Sous une hypothèse de dépendance faible portant sur la scène ξ, nous montrons un théorème de la limite centrale fonctionnel généralisant le théorème de Kesten et Spitzer [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50 (1979) 5–25].