Transience/recurrence and the speed of a one-dimensional random walk in a “have your cookie and eat it” environment

Abstract

Consider a variant of the simple random walk on the integers, with the following transition mechanism. At each site x, the probability of jumping to the right is ω(x)∈[½, 1), until the first time the process jumps to the left from site x, from which time onward the probability of jumping to the right is ½. We investigate the transience/recurrence properties of this process in both deterministic and stationary, ergodic environments {ω(x)}_x∈Z. In deterministic environments, we also study the speed of the process.

Considérons une variante de la marche aléatoire simple et symétrique sur les entiers, avec le mécanisme de transition suivant: A chaque site x, la probabilité de sauter à droite est ω(x)∈[½, 1), jusqu’à la première fois que le processus saute à gauche du site x, après laquelle la probabilité de sauter à droite est ½. Nous examinons les propriétés de transience/recurrence pour ce processus, dans les environnements déterministes et aussi dans les environnements stationnaires et ergodiques {ω(x)}_x∈Z. Dans les environnements déterministes, nous étudions aussi la vitesse du processus.