Convergence of trapezoid rule to rough integrals

Abstract

Rough paths techniques give the ability to define solutions of stochastic differential equations driven by signals X which are not semimartingales and whose p-variation is finite only for large values of p. In this context, rough integrals are usually Riemann–Stieltjes integrals with correction terms that are sometimes seen as unnatural. As opposed to those somewhat artificial correction terms, our endeavor in this note is to produce a trapezoid rule for rough integrals driven by general d-dimensional Gaussian processes. Namely we shall approximate a generic rough integral $\int \mathit{y}\mathit{d}\mathit{X}$ by Riemann sums avoiding the usual higher order correction terms, making the expression easier to work with and more natural. Our approximations apply to all controlled processes y and to a wide range of Gaussian processes X including fractional Brownian motion with a Hurst parameter $\mathit{H}>1/4$. As a corollary of the trapezoid rule, we also consider the convergence of a midpoint rule for integrals of the form $\int \mathit{f}(\mathit{X})\mathit{d}\mathit{X}$.

La théorie des trajectoires rugueuses ouvre la possibilité de résoudre des équations différentielles stochastiques dirigées par un signal général X. Cette théorie va au-delà du cas d’une semi-martingale, et concerne un signal X dont la p-variation est finie pour p arbitrairement grand. Dans ce contexte les intégrales rugueuses sont généralement définies comme des intégrales de Riemann–Stieljes, corrigées par des termes qui peuvent paraître non naturels. Dans la présente note nous proposons de remplacer ces termes quelque peu artificiels par une approximation trapézoïdale, dans le cas où X est un processus Gaussien d-dimensionnel général. Plus précisément, nous approchons une intégrale rugueuse de la forme $\int \mathit{y}\mathit{d}\mathit{X}$ par une somme de Riemann tout en évitant les termes correctifs d’ordre supérieur, ce qui rend l’expression plus facile à manipuler et plus naturelle. Nos approximations fonctionnent pour tous les processus contrôlés y, ainsi que pour une classe importante de processus Gaussiens X comprenant le mouvement brownien fractionnaire avec paramètre de Hurst $\mathit{H}>1/4$. Nous énonçons aussi un résultat de convergence concernant la règle du point milieu pour des intégrales de la forme $\int \mathit{f}(\mathit{X})\mathit{d}\mathit{X}$. Ce dernier résultat est un corollaire de notre règle trapézoïdale.