Quasi-geometric rough paths and rough change of variable formula

Abstract

Using some basic notions from the theory of Hopf algebras and quasi-shuffle algebras, we introduce rigorously a new family of rough paths: the quasi-geometric rough paths. We discuss their main properties. In particular, we will relate them with iterated Brownian integrals and the concept of “simple bracket extension”, developed in the PhD thesis of David Kelly. As consequence of these results, we have a sufficient criterion to show for any $\mathit{\gamma }\in (0,1)$ and any sufficiently smooth function $\mathit{\phi }:{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\to \mathbb{R}$ a rough change of variable formula on any γ-Hölder continuous path $\mathit{x}:[0,\mathit{T}]\to {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, i.e. an explicit expression of $\mathit{\phi }({\mathit{x}}_{\mathit{t}})$ in terms of rough integrals.

En utilisant certaines notions de base de la théorie des algèbres de Hopf et des algèbres de quasi-battage, nous introduisons formellement une nouvelle famille de chemins rugueux : les chemins rugueux quasi géométriques. Nous en examinons les propriétés principales. En particulier, nous les mettons en relation avec les intégrales itérées du mouvement brownien et avec le concept de « simple bracket extension », développé dans la thèse de David Kelly. Comme conséquence de ces résultats, nous disposons d’un critère suffisant pour montrer pour toute $\mathit{\gamma }\in (0,1)$ et toute fonction suffisamment lisse $\mathit{\phi }:{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\to \mathbb{R}$ une formule de changement de variable rugueuse pour tout chemin γ-Hölder $\mathit{x}:[0,\mathit{T}]\to {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, c’est-à-dire une expression explicite de $\mathit{\phi }({\mathit{x}}_{\mathit{t}})$ en termes d’intégrales rugueuses.