We consider vector spin glasses whose energy function is a Gaussian random field with covariance given in terms of the matrix of scalar products. For essentially any model in this class, we give an upper bound for the limit free energy, which is expected to be sharp. The bound is expressed in terms of an infinite-dimensional Hamilton–Jacobi equation.

Nous considérons des verres de spins vectoriels dont la fonction d’énergie est un champ aléatoire gaussien avec une covariance s’exprimant en termes de la matrice des produits scalaires. Pour essentiellement tous les modèles de cette classe, nous donnons une limite supérieure pour l’énergie libre limite, qui devrait être exacte. La limite est exprimée en termes d’une équation de Hamilton–Jacobi de dimension infinie.

We consider the winding number of planar stationary Gaussian processes defined on the line. Under mild conditions, we obtain the asymptotic variance and the Central Limit Theorem for the winding number as the time horizon tends to infinity. In the asymptotic regime, our discrete approach is equivalent to the continuous one studied previously in the literature and our main result extends the existing ones. Our model allows for a general dependence of the coordinates of the process and non-differentiability of one of them. Furthermore, beyond our general framework, we consider as examples an approximation to the winding number of a process whose coordinates are both non-differentiable and the winding number of a process which slightly escapes from stationarity.

Nous considérons le nombre de tours des processus gaussiens stationnaires planaires définis sur la droite. Dans des conditions faibles, on obtient la variance asymptotique et le théorème de la limite centrale pour le nombre de tours lorsque l’horizon temporel tend vers l’infini. Dans le régime asymptotique, notre approche discrète est équivalente à l’approche continue étudié précédemment dans la littérature et notre principal résultat étend les existants. Notre modèle permet une dépendance générale des coordonnées du processus et une non-différentiabilité de l’un d’entre eux. De plus, au-delà de notre cadre général, nous considérons comme exemples une approximation du nombre de tours d’un processus dont les coordonnées sont toutes deux non différentiables et le nombre du tours d’un processus qui s’écarte légèrement de la stationnarité.

We discuss a Gaussian multiplicative chaos (GMC) structure underlying a family of random measures ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ on a space Γ of directed pathways crossing a diamond fractal with Hausdorff dimension two. The laws of these random continuum path measures arise in a critical weak-disorder limiting regime for discrete directed polymers on disordered hierarchical graphs. For the analogous subcritical continuum polymer model in which the diamond fractal has Hausdorff dimension less than two, the random path measures can be constructed as subcritical GMCs through couplings to a spatial Gaussian white noise. This construction fails in the critical dimension two where, formally, an infinite coupling strength to the environmental noise would be required to generate the disorder. We prove, however, that there is a conditional GMC interrelationship between the random measures in the family ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ such that the law of ${\mathbf{M}}_{\mathit{r}}$ can be constructed as a subcritical GMC with random reference measure ${\mathbf{M}}_{\mathit{R}}$ for any choice of $\mathit{R}\in (-\infty ,\mathit{r})$. A similar GMC structure plausibly would hold for a critical continuum $(2+1)$-dimensional directed polymer model.

Nous discutons une structure de chaos multiplicatif gaussien (CMG) sous-jacente à une famille de mesures aléatoires ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ sur un espace Γ de chemins dirigés traversant un réseau fractal (de type diamant) avec une dimension de Hausdorff de deux. Les lois de ces mesures aléatoires de chemins continus apparaissent dans un régime limite critique de désordre faible pour les polymères discrets dirigés sur des graphes hiérarchiques désordonnés. Pour le modèle sous-critique analogue dans lequel le réseau fractal a une dimension de Hausdorff inférieure à deux, les mesures de chemins aléatoires peuvent être construites comme des CMG sous-critiques par couplages à un bruit blanc gaussien spatial. Cette construction échoue à la dimension critique deux où, formellement, un couplage infini avec l’environnement aléatoire serait nécessaire pour générer le désordre. Nous prouvons, cependant, qu’il existe une structure de correlation conditionnelle au niveau du CMG entre les mesures aléatoires dans la famille ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ telle que la loi de ${\mathbf{M}}_{\mathit{r}}$ peut être construite comme un CMG sous-critique avec une mesure de référence aléatoire ${\mathbf{M}}_{\mathit{R}}$ pour tout choix de $\mathit{R}\in (-\infty ,\mathit{r})$. Une structure similaire au niveau du CMG semblerait plausible pour un modèle critique $(2+1)$-dimensionnel de polymère dirigé.

In the 1980s, Diaconis and Freedman studied the low-dimensional projections of random vectors from the Euclidean unit sphere and the simplex in high dimensions, noting that the individual coordinates of these random vectors look like Gaussian and exponential random variables respectively. In subsequent works, Rachev and Rüschendorf and Naor and Romik unified these results by establishing a connection between ${\ell }_{\mathit{p}}^{\mathit{N}}$ balls and a p-generalized Gaussian distribution. In this paper, we study similar questions in a similar and significantly broader setting, looking at low-dimensional projections of random vectors uniformly distributed on sets of the form ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}:=\{({\mathit{s}}_1,\dots ,{\mathit{s}}_{\mathit{N}})\in {\mathbb{R}}^{\mathit{N}}:{\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\mathit{\varphi }({\mathit{s}}_{\mathit{i}})\le \mathit{t}\mathit{N}\}$, where $\mathit{\varphi }:\mathbb{R}\to [0,\infty ]$ is a function satisfying some fairly mild conditions. We find that there is a critical parameter ${\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ at which there is a phase transition in the behaviour of the low-dimensional projections: for $\mathit{t}>{\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ the coordinates of random vectors sampled from ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}$ behave like independent uniform random variables, but for $\mathit{t}\le {\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ however the Gibbs conditioning principle comes into play, and here there is a parameter ${\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}>0$ (the inverse temperature) such that the coordinates are approximately distributed according to a density proportional to ${\mathit{e}}^{-{\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}\mathit{\varphi }(\mathit{s})}$.

Dans les années 1980, Diaconis et Freedman ont étudié les projections en petites dimensions de vecteurs aléatoires de la sphère unitaire euclidienne et du simplexe en grandes dimensions, remarquant que les coordonnées individuelles de ces vecteurs aléatoires ressemblent respectivement à des variables aléatoires gaussiennes et exponentielles. Dans des travaux ultérieurs, Rachev et Rüschendorf et Naor et Romik ont unifié ces résultats en établissant une relation entre les boules ${\ell }_{\mathit{p}}^{\mathit{N}}$ et une distribution gaussienne p-généralisée. Dans cet article, nous étudions des questions analogues dans un cadre similaire et beaucoup plus large, en nous intéressant aux projections en petites dimensions de vecteurs aléatoires uniformément distribués sur des ensembles de la forme ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}:=\{({\mathit{s}}_1,\dots ,{\mathit{s}}_{\mathit{N}})\in {\mathbb{R}}^{\mathit{N}}:{\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\mathit{\varphi }({\mathit{s}}_{\mathit{i}})\le \mathit{t}\mathit{N}\}$, où $\mathit{\varphi }:\mathbb{R}\to [0,\infty ]$ est une fonction satisfaisant à des conditions assez générales. Nous montrons qu’il existe un paramètre critique ${\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ pour lequel il y a une transition de phase dans le comportement des projections en petites dimensions : pour $\mathit{t}>{\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ les coordonnées des vecteurs aléatoires échantillonnés dans ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}$ se comportent comme des variables aléatoires uniformes indépendantes, mais pour $\mathit{t}\le {\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ le principe de conditionnement de Gibbs entre en jeu, et il existe dans ce cas un paramètre ${\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}>0$ (l’inverse de la température) tel que les coordonnées sont approximativement distribuées selon une densité proportionnelle à ${\mathit{e}}^{-{\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}\mathit{\varphi }(\mathit{s})}$.

We prove that the set of possible values for the percolation threshold ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}$ of Cayley graphs has a gap at 1 in the sense that there exists ${\mathit{\epsilon }}_0>0$ such that for every Cayley graph G one either has ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})=1$ or ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})\le 1-{\mathit{\epsilon }}_0$. The proof builds on the new approach of Duminil-Copin, Goswami, Raoufi, Severo & Yadin (Duke Math. J. 169 (2020) 3539–3563) to the existence of phase transition using the Gaussian free field, combined with the finitary version of Gromov’s theorem on the structure of groups of polynomial growth of Breuillard, Green & Tao (Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012) 115–221).

Nous prouvons que l’ensemble des valeurs possibles pour les seuils critiques de percolation ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}$ de graphes de Cayley a une « lacune » en 1, dans le sens qu’il existe ${\mathit{\epsilon }}_0>0$ tel que pour tout graphe de Cayley G, on a soit ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})=1$, soit ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})\le 1-{\mathit{\epsilon }}_0$. La démonstration s’appuie sur la nouvelle approche de Duminil-Copin, Goswami, Raoufi, Severo & Yadin (Duke Math. J. 169 (2020) 3539–3563) pour prouver l’existence de la transition de phase en utilisant le champ libre gaussien, combinée avec la version finitaire du théorème de Gromov sur la structure des groupes à croissance polynomiale de Breuillard, Green & Tao (Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012) 115–221).

An upper bound for the critical probability of the range-R bond percolation in $\mathit{d}=2$ and $\mathit{d}=3$ is obtained by connecting the bond percolation with the SIR epidemic model, thus complementing the lower bound result in Frei and Perkins (Electron. J. Probab. 21 (2016) Paper No. 56, 1–22).

Une borne supérieure pour la probabilité critique de la percolation par arêtes de portée R dans $\mathit{d}=2$ et $\mathit{d}=3$ est obtenue en connectant le modèle de percolation avec le modèle épidémique SIR, complétant ainsi le résultat dans Frei et Perkins (Electron. J. Probab. 21 (2016) Paper No. 56, 1–22) qui donne une borne inférieure.

There has recently been much activity within the Kardar–Parisi–Zhang universality class spurred by the construction of the canonical limiting object, the parabolic Airy sheet $\mathcal{S}:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ (Dauvergne, Ortmann and Virág (2018)). The parabolic Airy sheet provides a coupling of parabolic ${\mathrm{Airy}}_2$ processes – a universal limiting geodesic weight profile in planar last passage percolation models – and a natural goal is to understand this coupling. Geodesic geometry suggests that the difference of two parabolic ${\mathrm{Airy}}_2$ processes, i.e., a difference profile, encodes important structural information. This difference profile $\mathcal{D}$, given by $\mathbb{R}\to \mathbb{R}:\mathit{x}\mapsto \mathcal{S}(1,\mathit{x})-\mathcal{S}(-1,\mathit{x})$, was first studied by Basu, Ganguly and Hammond (2019), who showed that it is monotone and almost everywhere constant, with its points of non-constancy forming a set of Hausdorff dimension $1/2$. Noticing that this is also the Hausdorff dimension of the zero set of Brownian motion, we adopt a different approach. Establishing previously inaccessible fractal structure of $\mathcal{D}$, we prove, on a global scale, that $\mathcal{D}$ is absolutely continuous on compact sets to Brownian local time (of rate four) in the sense of increments, which also yields the main result of Basu, Ganguly and Hammond (2019) as a simple corollary. Further, on a local scale, we explicitly obtain Brownian local time of rate four as a local limit of $\mathcal{D}$ at a point of increase, picked by a number of methods, including at a typical point sampled according to the distribution function $\mathcal{D}$. Our arguments rely on the representation of $\mathcal{S}$ in terms of a last passage problem through the parabolic Airy line ensemble and an understanding of geodesic geometry at deterministic and random times.

Il y a eu récemment beaucoup d’activité au sein de la classe d’universalité de Kardar–Parisi–Zhang stimulée par la construction de l’objet limite canonique, le drap d’Airy parabolique $\mathcal{S}:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ (Dauvergne, Ortmann et Virág (2018)). Le drap d’Airy parabolique fournit un couplage de processus ${\mathrm{Airy}}_2$ paraboliques – un profil géodésique limite universel dans les modèles de percolation planaires au dernier passage – et un objectif naturel est de comprendre ce couplage. La géométrie géodésique suggère que la différence de deux processus ${\mathrm{Airy}}_2$ paraboliques, c’est-à-dire un profil de la différence, encode des informations structurelles importantes. Ce profil de différence $\mathcal{D}$, donné par $\mathbb{R}\to \mathbb{R}:\mathit{x}\mapsto \mathcal{S}(1,\mathit{x})-\mathcal{S}(-1,\mathit{x})$, a d’abord été étudié par Basu, Ganguly et Hammond (2019), qui ont montré qu’il est monotone et presque partout constant, avec ses points de non-constance formant un ensemble de dimension Hausdorff $1/2$. Constatant qu’il s’agit également de la dimension de Hausdorff de l’ensemble des zéros du mouvement brownien, nous adoptons une approche différente. En établissant une structure fractale jusqu’alors inaccessible de $\mathcal{D}$, nous prouvons, à l’échelle globale, que $\mathcal{D}$ est absolument continu sur des ensembles compacts à temps local brownien (de taux quatre) au sens des accroissements, ce qui donne également le résultat principal de Basu, Ganguly et Hammond (2019) comme un simple corollaire. De plus, à l’échelle locale, nous obtenons explicitement le temps local brownien de taux quatre comme limite locale de $\mathcal{D}$ en un point d’accroissement, choisi par un certain nombre de méthodes, y compris en un point typique échantillonné selon la fonction de distribution $\mathcal{D}$. Nos arguments s’appuient sur la représentation de $\mathcal{S}$ en termes d’un problème de dernier passage au moyen de l’ensemble parabolique de lignes d’Airy et sur une compréhension de la géométrie géodésique en des temps déterministes et aléatoires.

We study fine properties of the convergence of a high intensity shot noise field towards the Gaussian field with the same covariance structure. In particular we (i) establish a strong invariance principle, i.e. a quantitative coupling between a high intensity shot noise field and the Gaussian limit such that they are uniformly close on large domains with high probability, and (ii) use this to derive an asymptotic expansion for the critical level above which the excursion sets of the shot noise field percolate.

On étudie les propriétés fines de convergence d’un champ shot noise haute fréquence vers le champ gaussien de même structure de covariance. En particulier, on (i) établit un strong invariance principle, i.e. un couplage quantitatif entre un champ shot noise haute fréquence et son champ limite gaussien tel qu’ils soient uniformément proches sur de larges domaines avec grande probabilité, et (ii) on en déduit un développement asymptotique du seuil critique de percolation du champ shot noise.

Using some basic notions from the theory of Hopf algebras and quasi-shuffle algebras, we introduce rigorously a new family of rough paths: the quasi-geometric rough paths. We discuss their main properties. In particular, we will relate them with iterated Brownian integrals and the concept of “simple bracket extension”, developed in the PhD thesis of David Kelly. As consequence of these results, we have a sufficient criterion to show for any $\mathit{\gamma }\in (0,1)$ and any sufficiently smooth function $\mathit{\phi }:{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\to \mathbb{R}$ a rough change of variable formula on any γ-Hölder continuous path $\mathit{x}:[0,\mathit{T}]\to {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, i.e. an explicit expression of $\mathit{\phi }({\mathit{x}}_{\mathit{t}})$ in terms of rough integrals.

En utilisant certaines notions de base de la théorie des algèbres de Hopf et des algèbres de quasi-battage, nous introduisons formellement une nouvelle famille de chemins rugueux : les chemins rugueux quasi géométriques. Nous en examinons les propriétés principales. En particulier, nous les mettons en relation avec les intégrales itérées du mouvement brownien et avec le concept de « simple bracket extension », développé dans la thèse de David Kelly. Comme conséquence de ces résultats, nous disposons d’un critère suffisant pour montrer pour toute $\mathit{\gamma }\in (0,1)$ et toute fonction suffisamment lisse $\mathit{\phi }:{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\to \mathbb{R}$ une formule de changement de variable rugueuse pour tout chemin γ-Hölder $\mathit{x}:[0,\mathit{T}]\to {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, c’est-à-dire une expression explicite de $\mathit{\phi }({\mathit{x}}_{\mathit{t}})$ en termes d’intégrales rugueuses.

Rough paths techniques give the ability to define solutions of stochastic differential equations driven by signals X which are not semimartingales and whose p-variation is finite only for large values of p. In this context, rough integrals are usually Riemann–Stieltjes integrals with correction terms that are sometimes seen as unnatural. As opposed to those somewhat artificial correction terms, our endeavor in this note is to produce a trapezoid rule for rough integrals driven by general d-dimensional Gaussian processes. Namely we shall approximate a generic rough integral $\int \mathit{y}\mathit{d}\mathit{X}$ by Riemann sums avoiding the usual higher order correction terms, making the expression easier to work with and more natural. Our approximations apply to all controlled processes y and to a wide range of Gaussian processes X including fractional Brownian motion with a Hurst parameter $\mathit{H}>1/4$. As a corollary of the trapezoid rule, we also consider the convergence of a midpoint rule for integrals of the form $\int \mathit{f}(\mathit{X})\mathit{d}\mathit{X}$.

La théorie des trajectoires rugueuses ouvre la possibilité de résoudre des équations différentielles stochastiques dirigées par un signal général X. Cette théorie va au-delà du cas d’une semi-martingale, et concerne un signal X dont la p-variation est finie pour p arbitrairement grand. Dans ce contexte les intégrales rugueuses sont généralement définies comme des intégrales de Riemann–Stieljes, corrigées par des termes qui peuvent paraître non naturels. Dans la présente note nous proposons de remplacer ces termes quelque peu artificiels par une approximation trapézoïdale, dans le cas où X est un processus Gaussien d-dimensionnel général. Plus précisément, nous approchons une intégrale rugueuse de la forme $\int \mathit{y}\mathit{d}\mathit{X}$ par une somme de Riemann tout en évitant les termes correctifs d’ordre supérieur, ce qui rend l’expression plus facile à manipuler et plus naturelle. Nos approximations fonctionnent pour tous les processus contrôlés y, ainsi que pour une classe importante de processus Gaussiens X comprenant le mouvement brownien fractionnaire avec paramètre de Hurst $\mathit{H}>1/4$. Nous énonçons aussi un résultat de convergence concernant la règle du point milieu pour des intégrales de la forme $\int \mathit{f}(\mathit{X})\mathit{d}\mathit{X}$. Ce dernier résultat est un corollaire de notre règle trapézoïdale.

In this paper, we propose a nonparametric estimation method for the conditional density function of Y given X, from independent and identically distributed observations ${({\mathit{X}}_{\mathit{i}},{\mathit{Y}}_{\mathit{i}})}_{1\le \mathit{i}\le \mathit{n}}$. We consider a regression strategy related to projection subspaces of ${\mathbb{L}}^2$ generated by non compactly supported bases. This first study is then extended to the case where Y is not directly observed, but only $\mathit{Z}=\mathit{Y}+\mathit{\epsilon }$, where ε is a noise with known density. In these two settings, we build and study collections of estimators, compute their rates of convergence on anisotropic space on non-compact supports, and prove related lower bounds. Then, we consider adaptive estimators for which we also prove risk bounds.

Dans cet article, nous proposons une méthode d’estimation non-paramétrique de la densité conditionnelle de Y sachant X, à partir d’un échantillon d’observations ${({\mathit{X}}_{\mathit{i}},{\mathit{Y}}_{\mathit{i}})}_{1\le \mathit{i}\le \mathit{n}}$, indépendantes et identiquement distribuées. Notre stratégie s’appuie sur un contraste de régression pour reconstruire une projection de la fonction cible sur des sous-espaces de ${\mathbb{L}}^2$ engendrés par des bases à support non compact. Cette étude est ensuite étendue au cas où la variable Y n’est pas directement observée, mais remplacée par $\mathit{Z}=\mathit{Y}+\mathit{\epsilon }$ où ε est un bruit de densité connue. Dans ces deux contextes, nous construisons et étudions des collections d’estimateurs, calculons leurs vitesses de convergence sur des espaces anisotropiques de fonctions à support non compact. Des bornes inférieures associées sont également prouvées. Enfin, nous proposons des estimateurs adaptatifs, pour lesquels nous démontrons des bornes de risque de type oracle.

We show that external randomization may enforce the convergence of test statistics to their limiting distributions in particular cases. This results in a sharper inference. Our approach is based on a central limit theorem for weighted sums. We apply our method to a family of rank-based test statistics and a family of phi-divergence test statistics and prove that, with overwhelming probability with respect to the external randomization, the randomized statistics converge at the rate $\mathit{O}(1/\mathit{n})$ (up to some logarithmic factors) to the limiting chi-square distribution in Kolmogorov metric.

Nous montrons que l’ajout de randomisation externe peut guider la convergence des statistiques de test vers leurs lois limites dans certains cas particuliers. Il en résulte une inférence plus précise. Notre approche est basée sur un théorème central limite pour les sommes pondérées. Nous appliquons notre méthode à une famille de statistiques de test basées sur les rangs et à une famille de statistiques de test de phi-divergence et nous prouvons que, avec grande probabilité par rapport à la randomisation externe, les statistiques randomisées convergent à un taux $\mathit{O}(1/\mathit{n})$ (en négligeant certains facteurs logarithmiques) vers la distribution limite du chi-deux dans la distance de Kolomogorov.

The paper investigates existence and uniqueness for a stochastic differential equation (SDE) depending on the law density of the solution, involving a Schwartz distribution. Those equations, known as McKean SDEs, are interpreted in the sense of a suitable singular martingale problem. A key tool used in the analysis is the corresponding Fokker–Planck equation.

Cet article explore existence et unicité pour une équation différentielle stochastique (EDS) dépendant de la loi de la solution, dont un coefficient contient une distribution de Schwartz. Ces équations sont connues sous le nom d’EDS de type McKean et sont interprétées à l’aide d’un problème de martingales approprié. Un outil fondamental de l’analyse est l’équation de Fokker–Planck correspondante.

In this paper, we establish the existence and the uniqueness of solutions of stochastic evolution equations (SEEs) with reflection in an infinite dimensional ball. Our framework is sufficiently general to include e.g. the stochastic Navier–Stokes equations.

Nous établissons dans cet article l’existence et l’unicité des équations d’évolution stochastique avec réflexion dans une boule de dimension infinie. Notre méthodes sont assez générales et s’appliquent par exemple aux équations de Navier Stokes.

Existence and uniqueness of solutions to the stochastic heat equation with multiplicative spatial noise is studied. In the spirit of pathwise regularization by noise, we show that a perturbation by a sufficiently irregular continuous path establish wellposedness of such equations, even when the drift and diffusion coefficients are given as generalized functions or distributions. In addition we prove regularity of the averaged field associated to a Lévy fractional stable motion, and use this as an example of a perturbation regularizing the multiplicative stochastic heat equation.

L’existence et l’unicité des solutions de l’équation de la chaleur stochastique avec bruit spatial multiplicatif sont étudiées. Dans l’esprit de la régularisation par le bruit trajectorielle des équations différentielles ordinaires, nous montrons qu’une perturbation additive par des fonctions suffisamment irrégulières permet d’obtenir existence et unicité, et ce même lorsque les coefficients sont des fonctions généralisées. De plus, nous étudions la régularité du champ moyennisé associé aux processus fractionnaires de Lévy stables. Nous utilisons de tels processus comme exemples de perturbations régularisantes pour l’équation de la chaleur stochastique multiplicative.

We consider a stochastic heat equation of the type, ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}={\partial }_{\mathit{x}}^2\mathit{u}+\mathit{\sigma }(\mathit{u})\dot{\mathit{W}}$ on $(0,\infty )\times [-1,1]$ with periodic boundary conditions and non-degenerate positive initial data, where $\mathit{\sigma }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is a non-random Lipschitz continuous function and $\dot{\mathit{W}}$ denotes space-time white noise. If additionally $\mathit{\sigma }(0)=0$ then the solution is known to be strictly positive; see Mueller (Stoch. Stoch. Rep. 37 (1991) 225–245). In that case, we prove that the oscillation of the logarithm of the solution decays sublinearly as time tends to infinity. Among other things, it follows that, with probability one, all limit points of ${\mathit{t}}^{-1}{sup}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ and ${\mathit{t}}^{-1}{inf}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ must coincide. As a consequence of this fact, we prove that, when σ is linear, there is a.s. only one such limit point and hence the entire path decays almost surely at an exponential rate.

On considère une équation de la chaleur stochastique du type, ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}={\partial }_{\mathit{x}}^2\mathit{u}+\mathit{\sigma }(\mathit{u})\dot{\mathit{W}}$ sur $(0,\infty )\times [-1,1]$ avec des conditions aux limites périodiques et des données initiales positives non dégénérées, où $\mathit{\sigma }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est une fonction continue lipschitzienne non aléatoire et $\dot{\mathit{W}}$ désigne un bruit blanc spatio-temporel. Si en plus $\mathit{\sigma }(0)=0$, alors la solution est strictement positive, voir Mueller (Stoch. Stoch. Rep. 37 (1991) 225–245). Dans ce cas, nous prouvons que l’oscillation du logarithme de la solution décroît de manière souslinéaire lorsque le temps tend vers l’infini. Entre autres, il s’ensuit que, avec probabilité un, tous les points limites de ${\mathit{t}}^{-1}{sup}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ et ${\mathit{t}}^{-1}{inf}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ doivent coïncider. En conséquence de ce fait, nous prouvons que, quand σ est linéaire, il n’y a presque sûrement qu’un seul point limite. Par conséquent, toute la trajectoire décroît exponentiellement presque sûrement.

We consider a particle performing a random walk on $\mathbb{Z}$ driven by expanding maps. We provide sufficient conditions for the position of the particle ${\mathit{z}}_{\mathit{n}}$ to satisfy the Central Limit Theorem.

On considère une particule qui suit une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$, dirigée par un systèmes dynamiques expansif. On fournit des conditions suffisantes pour que la position ${\mathit{z}}_{\mathit{n}}$ de la particule satisfasse le Théorème Central Limite.

In this paper we introduce the notion of Kudō-continuity for real-valued functions on the space of all complete sub-σ-algebras of a standard probability space. This is an a priori strengthening of continuity with respect to strong convergence. We show that conditional entropies are Kudō-continuous, and discuss an application to the study of Furstenberg entropy spectra of SAT*-spaces.

Dans cet article, nous introduisons la notion de Kud$\bar{\text{o}}$-continuité pour les fonctions à valeurs réelles sur l’espace de toutes les sous-σ-algèbres complètes d’un espace de probabilité standard. A priori il s’agit d’un renforcement de la continuité par rapport à la convergence forte. Nous montrons que les entropies conditionnelles sont Kudō-continues, et discutons une application à l’étude des spectres d’entropie de Furstenberg des espaces SAT*.

We prove universality of the Yaglom limit of Lipschitz cones among all unimodal Lévy processes sufficiently close to the isotropic α-stable Lévy process.

On prouve l’universalité de la limite de Yaglom dans les cônes de Lipschitz parmi tous les processus de Lévy unimodaux suffisamment proches du processus de Lévy isotrope α-stable.

We provide the exact large-time behavior of the tail distribution of the extinction time of a self-similar fragmentation process with a negative index of self-similarity, improving thus a previous result on the logarithmic asymptotic behavior of this tail. Two factors influence this behavior: the distribution of the largest fragment at the time of a dislocation and the index of self-similarity. As an application we obtain the asymptotic behavior of all positive moments of the largest fragment and compare it to the behavior of the positive moments of a tagged fragment, whose decrease is in general significantly slower. We illustrate our results on several examples, including fragmentations related to random real trees – for which we thus obtain the asymptotic behavior of the tail distribution of the height – such as the stable Lévy trees of Duquesne, Le Gall and Le Jan (including the Brownian tree of Aldous), the alpha-model of Ford and the beta-splitting model of Aldous.

Nous décrivons le comportement en temps grand de la queue de distribution du temps d’extinction d’un processus de fragmentation auto-similaire avec un indice d’auto-similarité négatif, améliorant significativement ainsi un résultat précédent sur le comportement logarithmique de cette queue. Deux facteurs influencent ce comportement : la distribution du plus gros fragment lors d’une dislocation et l’indice d’auto-similarité. Comme conséquence, nous obtenons le comportement asymptotique des moments positifs du plus grand fragment et le comparons au comportement des moments positifs d’un fragment marqué, dont la décroissance est en général significativement plus lente. Nous illustrons nos résultats avec plusieurs exemples, dont des fragmentations liées à des arbres réels aléatoires – pour lesquels nous obtenons ainsi le comportement asymptotique de la queue de distribution de la hauteur – tels que les arbres de Lévy stables de Duquesne, Le Gall et Le Jan (y compris l’arbre brownien d’Aldous), le modèle alpha de Ford et le modèle dit “beta-splitting” d’Aldous.