Non compact estimation of the conditional density from direct or noisy data

Abstract

In this paper, we propose a nonparametric estimation method for the conditional density function of Y given X, from independent and identically distributed observations ${({\mathit{X}}_{\mathit{i}},{\mathit{Y}}_{\mathit{i}})}_{1\le \mathit{i}\le \mathit{n}}$. We consider a regression strategy related to projection subspaces of ${\mathbb{L}}^2$ generated by non compactly supported bases. This first study is then extended to the case where Y is not directly observed, but only $\mathit{Z}=\mathit{Y}+\mathit{\epsilon }$, where ε is a noise with known density. In these two settings, we build and study collections of estimators, compute their rates of convergence on anisotropic space on non-compact supports, and prove related lower bounds. Then, we consider adaptive estimators for which we also prove risk bounds.

Dans cet article, nous proposons une méthode d’estimation non-paramétrique de la densité conditionnelle de Y sachant X, à partir d’un échantillon d’observations ${({\mathit{X}}_{\mathit{i}},{\mathit{Y}}_{\mathit{i}})}_{1\le \mathit{i}\le \mathit{n}}$, indépendantes et identiquement distribuées. Notre stratégie s’appuie sur un contraste de régression pour reconstruire une projection de la fonction cible sur des sous-espaces de ${\mathbb{L}}^2$ engendrés par des bases à support non compact. Cette étude est ensuite étendue au cas où la variable Y n’est pas directement observée, mais remplacée par $\mathit{Z}=\mathit{Y}+\mathit{\epsilon }$ où ε est un bruit de densité connue. Dans ces deux contextes, nous construisons et étudions des collections d’estimateurs, calculons leurs vitesses de convergence sur des espaces anisotropiques de fonctions à support non compact. Des bornes inférieures associées sont également prouvées. Enfin, nous proposons des estimateurs adaptatifs, pour lesquels nous démontrons des bornes de risque de type oracle.