Abstract
We study the problem of the non-parametric estimation for the density π of the stationary distribution of a stochastic two-dimensional damping Hamiltonian system . From the continuous observation of the sampling path on , we study the rate of estimation for as where . We show that kernel based estimators can achieve the rate for some explicit exponent . One finding is that the rate of estimation depends on the smoothness of π and is completely different with the rate appearing in the standard i.i.d. setting or in the case of two-dimensional non–degenerate diffusion processes. Especially, this rate depends also on . Moreover, we obtain a minimax lower bound on the -risk for pointwise estimation, with the same rate , up to terms.
Nous étudions le problème de l’estimation non paramétrique pour la densité π de la distribution stationnaire d’une équation différentielle stochastique bi-dimensionnelle correspondant à un système Hamiltonien amorti . Depuis l’observation continue d’une trajectoire sur , nous étudions la vitesse d’estimation pour quand et . Nous montrons que des estimateurs à noyau atteignent la vitesse pour un exposant explicite . Nous trouvons que la vitesse d’estimation dépend de la régularité de π et est complètement différente des vitesses apparaissant dans le cadre classique des variables i.i.d. ou dans celui d’une diffusion bi-dimensionnelle non dégénérée. En particulier, cette vitesse dépend aussi de . De plus, nous obtenons une minoration du risque minimax pour l’estimation ponctuelle, avec la même vitesse , à des facteurs près.
Funding Statement
This work was in part supported by Japan Science and Technology Agency CREST JPMJCR2115.
Acknowledgements
The authors would like to thank the two anonymous referees, for their constructive comments and suggestions that improved the quality of this paper.
Citation
Sylvain Delattre. Arnaud Gloter. Nakahiro Yoshida. "Rate of estimation for the stationary distribution of stochastic damping Hamiltonian systems with continuous observations." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 58 (4) 1998 - 2028, November 2022. https://doi.org/10.1214/21-AIHP1237
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