Rare event process and entry times distribution for arbitrary null sets on compact manifolds

Abstract

We establish the general equivalence between rare event process for arbitrary continuous functions whose maximal values are achieved on non-trivial sets, and the entry times distribution for arbitrary measure zero sets. We then use it to show that for differentiable maps on a compact Riemannian manifold that can be modeled by Young’s towers, the rare event process and the limiting entry times distribution both converge to compound Poisson distributions. A similar result is also obtained on Gibbs–Markov systems, for both cylinders and open sets. We also give explicit expressions for the parameters of the limiting distribution, and a simple criterion for the limiting distribution to be Poisson. This can be applied to a large family of continuous observables that achieve their maximum on a non-trivial set with zero measure.

Nous établissons l’équivalence générale entre les processus d’événements rares pour des fonctions continues arbitraires dont les valeurs maximales sont atteintes sur des ensembles non-triviaux, et la distribution des temps d’entrée pour des ensembles de mesure nulle arbitraires. Nous utilisons ensuite cette équivalence afin de montrer que, pour des applications différentiables sur une variété riemannienne compacte qui peuvent être réalisées par des tours de Young, le processus d’événements rares et la distribution limite des temps d’entrée convergent tous deux vers des lois de Poisson composées. Un résultat similaire est également obtenu pour des systèmes de Gibbs–Markov, à la fois pour des ensembles cylindriques et ouverts. Nous donnons également des expressions explicites pour les paramètres de la loi limite, et un critère simple garantissant que cette dernière est une loi de Poisson. Tout ceci peut être appliqué à une grande famille d’observables continues qui atteignent leur maximum sur un ensemble non-trivial de mesure nulle.